Autor Tema: Paso de formulación débil a fuerte

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18 Junio, 2018, 02:02 pm
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stonelord

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Buenas,

parte de un ejercicio que se me ha presentado consiste en la obtención de una ecuación diferencial en formulación fuerte a partir de la siguiente expresión, con \( \Omega=[0,10]\times[0,10], \Omega_1=[0,10]\times\{0\} \), $$ \int_{\Omega}\nabla u \nabla v + \int_{\Omega_1}u \cdot v = \int_{\Omega_1}v + \int_{\Omega}f\cdot v$$
$$   u(x)=g, x \in \partial\Omega \setminus \Omega_1 \\ g\equiv{0}, f\equiv{1}$$
Donde no se especifica el espacio de funciones al que pertenece la solución \( u \) ni la función test \( v \). Supongo en ese caso podemos suponer \(  v  \) con las mismas condiciones de frontera que la solución \(  u  \). Supongo que se trata del procedimiento usual, se ha multiplicado ambos lados por la función test y se ha jugado con la fórmula de integración por partes, pero no consigo ver el procedimiento inverso.

Cualquier ayuda es agradecida.

18 Junio, 2018, 11:50 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola stonelord.

Tiene pinta de ser un "laplaciano de \( u \) igual a \( f \)", donde se aplicó integración por partes.

Cuando no se indica nada, lo habitual es suponer que al menos las operaciones que aparecen son válidas, por lo que \( u\in H^1(\Omega)=\{v\in L^2(\Omega):\nabla u\in L^2(\Omega)\} \) y \( f\in L^2(\Omega) \).

¿Seguro que lo anotaste bien?

Si tienes el problema fuerte: \( -\Delta u=1 \) en \( \Omega \), entonces

    \( \displaystyle\int_\Omega v=\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v-\int_{\partial\Omega}(\nabla u\cdot n)v \)

                 \( =\displaystyle\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v-\int_{\partial\Omega_1}(\nabla u\cdot (0,-1))v \)    (porque la normal sobre \( \Omega_1 \) es \( (0,-1) \)

                 \( =\displaystyle\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v+\int_{\partial\Omega_1}\dfrac{\partial u}{\partial y}v \)    (porque la normal sobre \( \Omega_1 \) es \( (0,-1) \)

Al menos es la idea.