[Jambo]

Hola, me pueden ayudar a demostrar lo siguiente?

"Si \( G \) no tiene subgrupos no triviales entonces \( G \) es cíclico, finito y \( \left |{G}\right | \) es primo."

Solo pude demostrar que \( \left |{G}\right | \) es primo (como los únicos subgrupos de \( G \) son \( \left\{{e}\right\} \) y el mismo \( G \) entonces los únicos divisores de  \( \left |{G}\right | \) son 1 y  \( \left |{G}\right | \), entonces  \( \left |{G}\right | \) es primo...¿esto está bien?)

[geómetracat]

Lo que dices no está claro. Es cierto que el orden de todo subgrupo divide al orden del grupo, pero el recíproco es falso: no necesariamente si \( n \mid |G| \) entonces existe un subgrupo de \( G \) de orden \( n \).

Para lo que te piden, si el grupo es el trivial ya estamos. Así que supón que \( G \) tiene más de un elemento. Toma un elemento \( g \in G \) distinto de la identidad y considera el subgrupo que genera. Trata de continuar tú a partir de aquí.

[Jambo]

Hola, gracias por contestar.

Siguiendo tú sugerencia, si considero el grupo generado por \( g \) tiene que ser el mismo \( G \) (porque \( g\neq{e} \) <,siendo \( e \) la identidad...) entonces \( G \) es cíclico...¿está bien?


No sé que hacer para demostrar que es finito, ni que el orden de \( G \) es primo 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, gracias por contestar.

Siguiendo tú sugerencia, si considero el grupo generado por \( g \) tiene que ser el mismo \( G \) (porque \( g\neq{e} \) <,siendo \( e \) la identidad...) entonces \( G \) es cíclico...¿está bien?

Correcto ya que en otro caso \( g \) generaría un subgrupo no trivial de \( G \).

No sé que hacer para demostrar que es finito, ni que el orden de \( G \) es primo 

Si no es finito, comprueba que \( g^2 \) general un subgrupo no trivial.

Si el orden no es primo, pongamos \( n=ab \) con \( a,b\neq 1 \) entonces comprueba que \( g^a \) genera un subgrupo no trivial.

Saludos.