[Jambo]

Hola, alguien puede explicarme como hacer el siguiente ejercicio?

Sabiendo que \( 2^{20}\equiv{144}\;mod\; 253 \) y \( 2^{55} \equiv{-45}\;mod\;253 \), hallar el orden de 2 en \( U(253) \) (\( U(253) \) es el conjunto de los invertibles de \( Z_n \) y este ultimo es el conjunto de las clases de equivalencia...); no tengo idea por donde arrancar  …

Les agradezco su ayuda de antemano!

[Gustavo]

Hola,

Empieza notando que \( (-45)^2 \equiv 1 \pmod{253} \).

[Jambo]

Hola, gracias por contestar 

Siguiendo tu sugerencia me quedó que \( (-45)^{2}\equiv{(2^{55})^{2}}\equiv{1}\;mod\;253 \) entonces \( 2^{110}\equiv{1}\;mod\;253 \) pero como sé que 110 es el mínimo \( n \) para concluir que 110 es el orden (si es que lo es)?

[Gustavo]

Aún no lo sabes, pero lo que sí puedes concluir es que el orden de 2 debe dividir a 110 y en ese caso se reducen las posibilidades.

Si no tienes ese resultado, intenta demostrarlo: Supón que \( n \) es el orden de 2. Si \( n \) no divide a 110, entonces el máximo común divisor de \( n \) y 110 es estrictamente menor que \( n \), llámalo \( d \). Ahora usa la identidad de Bézout para llegar a una contradicción.

La prueba en un grupo en general es la misma.

[Jambo]

Gracias por la ayuda, ya pude