[angiepaola]

Entre dos números racionales siempre hay un irracional, osea \( \sqrt[ ]{2} \) es un número irracional, \( \sqrt[ ]{3} \) también es irracional.

sé que el complemento de los \( \mathbb{Q} \) es \( \mathbb{I} \), mi pregunta es si entre dos números racionales siempre hay un irracional y viceversa, ademas \( \sqrt[ ]{2} \) es irracional. ¿cual es el siguiente irracional mayor que \( \sqrt[ ]{2} \)  ?.

Gracias!!!!

[Masacroso]

mi pregunta es si entre dos números racionales siempre hay un irracional y viceversa

Sí.

ademas \( \sqrt2 \) es irracional. ¿cual es el siguiente irracional mayor que \( \sqrt2 \)  ?.

Gracias!!!!

Muy buena pregunta. La respuesta es: ninguno. Con la relación de orden normal de los números irracionales tal número no existe. Eso es debido a la manera en la cual definimos el orden entre números y que siempre entre dos números irracionales hay otro número irracional, por tanto si existiera el número irracional (mayor que \( \sqrt2 \)) más cercano a \( \sqrt2 \), llamémoslo número \( h \), entonces habría al menos un irracional entre \( \sqrt2 \) y \( h \), por tanto \( h \) no sería el irracional más cercano.

Y como eso siempre se cumple para cualquier irracional cercano a \( \sqrt2 \) entonces no existe el menor de todos ellos.