[megasaw]

Buenas, tengo estos dos ejercicios los cuales no tengo muy claro cómo resolverlos y quisiera saber si pueden ayudarme
1.- Determine una base para \(  \mathbb{R^3} \) que incluya los vectores \(  (1,0,2) \) y \(  (0,1,3) \)
2.- Determine una base para el subespacio \(  V=P_2\mathbb{(R)} \) formado por los vectores de la forma \(  at^2+bt+c  \) donde \(  c=a-b \)
Espero puedan ayudarme, gracias.

[Fernando Revilla]

1.- Determine una base para \(  \mathbb{R^3} \) que incluya los vectores \(  (1,0,2) \) y \(  (0,1,3) \)

Los vectores \(  (1,0,2) \) y \(  (0,1,3) \) son linealmente independientes. Basta que añadas otro para que los tres sean linealmente independientes. Por ejemplo, \( B=\left\{{(1,0,2),(0,1,3),(0,0,1)}\right\} \) es base de \( \mathbb{R}^3. \)

2.- Determine una base para el subespacio \(  V=P_2\mathbb{(R)} \) formado por los vectores de la forma \(  at^2+bt+c  \) donde \(  c=a-b \)

Los vectores de \( V\subset P_2\mathbb{(R)} \) son de la forma \( a(t^2+1)+b(t-1) \) i.e. \( B_V=\left\{{t^2+1,t-1}\right\} \) es sistema generador de \( V \) y además linealmente independiente por tanto una base de \( V \) es \( B_V. \)

[megasaw]

1.- Determine una base para \(  \mathbb{R^3} \) que incluya los vectores \(  (1,0,2) \) y \(  (0,1,3) \)

Los vectores \(  (1,0,2) \) y \(  (0,1,3) \) son linealmente independientes. Basta que añadas otro para que los tres sean linealmente independientes. Por ejemplo, \( B=\left\{{(1,0,2),(0,1,3),(0,0,1)}\right\} \) es base de \( \mathbb{R}^3. \)

Gracias pero me pide determinar ese vector, hay alguna manera de hacerlo?

[Fernando Revilla]

Gracias pero me pide determinar ese vector, hay alguna manera de hacerlo?

Cualquier vector \( (a,b,c)\in \mathbb{R}^3 \) que cumpla \( \det \begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{0}&{1}&{3}\\{a}&{b}&{c}\end{bmatrix}\ne 0 \) forma un sistema de vectores fila l.i. y por tanto, base de \( \mathbb{R}^3. \)

[Luis Fuentes]

Hola

1.- Determine una base para \(  \mathbb{R^3} \) que incluya los vectores \(  (1,0,2) \) y \(  (0,1,3) \)

Los vectores \(  (1,0,2) \) y \(  (0,1,3) \) son linealmente independientes. Basta que añadas otro para que los tres sean linealmente independientes. Por ejemplo, \( B=\left\{{(1,0,2),(0,1,3),(0,0,1)}\right\} \) es base de \( \mathbb{R}^3. \)

Gracias pero me pide determinar ese vector, hay alguna manera de hacerlo?

Hay incluso una forma sistemática de elegir el vector (aunque no necesariamente más rápida).

Con toda seguridad (el Teorema de Steiniz lo garantiza) un conjunto de vectores independientes puede completarse a una base añadiendo vectores de la base queramos (no cualesquiera vectores, pero si escogidos en cualquier base). En particular podemos elegir los vectores que añadimos entre la base canónica.

Eso te garantiza que con toda seguridad al menos uno de estos tres vectores completará los dados a una base: \( (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \).

Entonces puedes comprobar cual de los tres verifica la condición indicada por Fernando.

O también, puedes escalonar por filas  la matriz formada por los vectores dados (en tu caso ya estaría escalonada) y escoger el vector de la base canónica que tiene un 1 precisamente en la columna donde no hay pivote (el pivote es el primer elemento no nulo de cada fila de la matriz escalonada).

Esto es fácilmente generalizable a dimensión finita arbitraria.

Saludos.

[feriva]

Gracias pero me pide determinar ese vector, hay alguna manera de hacerlo?

Esto del spoiler no es verdad, no lo había pensado bien

Spoiler

La primera coordenada de un vector y segunda del otro son cero, mientras que la tercera no es cero en ningún caso, con lo que cualquier vector que tenga un cero en la tercera coordenada será LI respecto de ambos; es bastante trivial si lo miras un poco viendo la combinación lineal de los vectores.



No es cierto, por ejemplo

\( \lambda(1,0,2)+\beta (0,1,3) \)

con lambda igual -3; y con beta igual 2 la tercera coordenada es cero, sale el vector (-3,2,0) cuya tercera coordenada sí es cero.

[cerrar]

Otra forma puede ser por producto escalar.

Como es obvio que son LI, existirá un vector perpendicular a los dos y, lógicamente, será Li con ambos

\( (1,0,2)\cdot(x,y,z)=0
  \)

\( (0,1,3)\cdot(x,y,z)=0
  \)

de donde

\( x+2z=0
  \)

\( y+3z=0
  \)

\( x+y+5z=0
  \)

Por ejemplo puede ser \( x=-y;\, z=0
  \) haciendo “x” igual a lo que quieras, siempre que no sea cero.

También por producto vectorial, pero todo esto es más complicado, no hace falta, se ve casi a primera vista, como te han dicho.

Saludos.