[zavro]

Un extremo de un resorte ligero con una constante de fuerza elástica k se fija a una pared. Una cuerda ligera se ata horizontal  al otro extremo del resorte . La cuerda cambia de horizontal a vertical , ya que pasa por una polea . La polea es libre de girar sobre un eje fijo sin masa. La sección vertical de la cuerda soporta un bloque de masa m. La cuerda no se desliza en su contacto con la polea. En el estado inicial de equilibrio el resorte está elongado a una distancia h, se suelta el bloque y este se mueve verticalmente hacia arriba.

* Si la polea es ideal, ¿es el movimiento del bloque MAS? Si la respuesta es afirmativa halle el periodo de oscilación del mismo en términos de k y m.
*Por medio de consideraciones de energía, responda la pregunta anterior.
*Si la polea tiene masa M y radio R, ¿es el movimiento del bloque un MAS? Si lo es, halle su periodo de oscilación en términos de las masas m y M y k.

[sedeort]

Si la polea no tiene masa el problema es equivalente al muelle y cuerpo colgados de un techo. O sea un movimiento armónico simple MAS cuya ecuación sería
           \( y = h cos wt \)
con \( w^2 = k / m \)

Para polea con masa me lo pienso...

[sedeort]

Este problema debería estar en la sección de Física, no?
Si algún moderador lo llevase allí, mejor.

Pues he vuelto a planteármelo, ahora con polea material, M, R.
Por Dinámica, haciendo el balance de fuerzas sobre el cuerpo y sobre la polea y posteriormente eliminando la tensión me queda una ecuación diferencial lineal no homogénea de 2° orden.
        mg - ky = (m + M/2)y''

Las condiciones iniciales son: en t=0, y=h v=0. Buscaré su solución ...

[delmar]

Hola

La ecuación diferencial para el caso de polea no ideal es correcta. Para resolverla, hay que encontrar primero la solución general de la ecuación homogénea, luego una solución particular de la ecuación; la solución general será la suma de ambas soluciones. Para hallar la solución particular, se puede utilizar el método del wronskiano.

Respecto al caso de polea ideal, la ecuación diferencial es : \( my''=mg-ky \) ¿Esta es la ecuación diferencial correspondiente al MAS?


Saludos

[sedeort]

Realmente el problema básico que da lugar al MAS es el de un muelle k fijado por un extremo y por el otro unido a una masa m; así, sin gravedad. O bien, con gravedad pero sobre una superficie horizontal sin rozamiento.
Para este problema la ecuación diferencial es:
my''+ky=0

En el caso del cuerpo colgado en muelle y con gravedad, la posición de equilibrio del muelle pasa a ser su longitud natural más la elongación correspondiente al peso del cuerpo. Por eso, aunque en la nueva ecuación diferencial aparezca un término adicional, mg, es constante y su efecto ya está "descontado" en esa elongación residual, mg/k,  siempre presente pero que no afecta al MAS del caso  básico.

Por lo tanto, pasando al problema inicial de polea con masa, pienso que la solución es un MAS con
                                      \( w^2 = k / (m+M/2) \)


P.D. He resuelto la ecuación diferencial no homogénea. Y efectivamente, me da como solución la ecuación de un MAS con la \( w \) indicada arriba más una solución particular que coincide con la elongación "residual" tras haber colgado inicialmente la masa.