[ghvddgr]

Saludos,

Estoy enfrentando el siguiente problema,

Si \( A \) es un conjunto cerrado de \( \mathbb{R} \), demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos también es cerrado
\( A=\{-x : x\in A \} \)
\( B=\{|x| : x\in A \} \)
\( C=\{x^2 : x\in A \} \)

Ya he demostrado con facilidad el primero, para el segundo y tercero no he progresado mucho. Debo añadir que el ejercicio es del libro "A First Course in Real Analysis" por Sterling Berberian en la pagina 64, ej 5. y ofrecen una pista para \( B \) y \( C \), sugiriendo el uso del teorema de Bolzano-Weierstrass.

Básicamente quiero ver que para una sucesión completamente contenida en \( B \), que sea convergente, digamos a \( p\in \mathbb{R} \) vamos a obtener que \( p\in B \).

Tomando \( y_n\in B \) una sucesión convergente a \( p\in \mathbb{R} \), tenemos por definición que \( y_n=|x_n| \), para \( x_n\in A \), luego expandiendo la definición de valor absoluto

\( y_n=|x_n|=
    \begin{cases}
      x_n, & \text{if } x_n\geq 0 \\
      -x_n, & \text{if } x_n<0
    \end{cases} \)

La cuestión es que de aquí creo que debería tomar una subsucesión \( y_{n_{k}}=x_{n_{k}} \) positiva, que sabemos va a ser convergente pues la mas grande lo es, mas aun, \( x_{n_{k}} \) converge a \( p\in A \) pues \( A \) es cerrado, luego \( p\in B \). Pero no logro convencerme aun de esta idea.

Cualquier opinión es bienvenida. Gracias!

[Masacroso]

Si \( \lim y_n=L \) entonces \( L \) o \( -L \) son puntos límite de \( x_n \), lo que quiere decir que existe una subsucesión \( x_{n_k} \) que converge a \( L \) ó a \( -L \).

Fíjate que no tiene por qué existir una subsucesión de elementos positivos, lo que sí es cierto es que o bien existe una subsucesión de elementos no-negativos o bien de elementos no-positivos (o quizá ambas).

Lo que tienes que demostrar es que tal subsucesión existe utilizando el teorema mencionado, o eso parece que pretende sugerir la pista dejada.

[ghvddgr]

Cuando dices punto limite, te refieres a la convergencia de la sucesión?

[Masacroso]

Cuando dices punto limite, te refieres a la convergencia de la sucesión?

Un punto límite \( L \) de una sucesión es un punto tal que para todo \( \epsilon>0 \) y para todo \( N\in\Bbb N \) existe un \( m\in\Bbb N \) tal que \( |x_m-L|<\epsilon \) y \( m\ge N \). Una sucesión de números reales es convergente (en \( \Bbb R \)) si y solo si tiene un único punto límite y está acotada.

Un ejemplo: la sucesión definida por \( x_n:=(-1)^n \) tiene dos puntos límites: el \( 1 \) y el \( -1 \), por tanto no es convergente. La sucesión definida en \( \Bbb R \) por \( x_n:=n \) no tiene puntos límites reales, ya que \( \lim x_n=\infty \) y \( \infty\notin\Bbb R \), por tanto no es convergente en \( \Bbb R \).

También se puede decir lo de antes de otra manera: \( L \) es un punto límite de la sucesión \( (x_n) \) si existe una subsucesión \( (x_{n_k}) \) que converge a \( L \).


Más simple que todo eso: si \( \lim |x_n|= L<\infty \) entonces la sucesión \( (|x_n|) \) está acotada, y por tanto también lo está la sucesión \( (x_n) \). Ahora ya sólo tienes que aplicar el teorema de Bolzano-Weierstrass.

CORREGIDO.

[ghvddgr]

Muchas gracias por la aclaratoria  .

Me tomo algo de tiempo comprender completamente tu respuesta  . Sin embargo, al final el ejercicio cedió, usando los argumentos que indicaste mas el uso del teorema de Bolzano-Weierstrass (Garantizar la existencia de las sub-sucesiones)