[Rashed]

Hola buenas tardes. Tengo el siguiente problema que no logro resolver.

F(x,y)= {\( {\frac{xy}{x^{4} + 3y^{2}} si (x,y) distinto (0,0))} \)

            {1 si (x,y) = (0,0)

1 Esta definida?
2 Existe el limite de f(b)
y ahi es donde no logro resolverla, lo unico que puedo llegar es que es discontinua inevitable puede ser?

[manooooh]

Hola

Hola buenas tardes. Tengo el siguiente problema que no logro resolver.

F(x,y)= {\( {\frac{xy}{x^{4} + 3y^{2}} si (x,y) distinto (0,0))} \)

            {1 si (x,y) = (0,0)

1 Esta definida?
2 Existe el limite de f(b)
y ahi es donde no logro resolverla, lo unico que puedo llegar es que es discontinua inevitable puede ser?

No entiendo mucho: Corregí el enunciado para que se entienda mejor. Podría quedar algo así la función: \( F(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^4+3y^2}&\text{si}&(x,y)\neq(0,0)\\1&\text{si}&(x,y)=(0,0)\end{cases} \).

¿En dónde se calcula lo que se pide? ¿En \( (0,0) \)? ¿En todo el dominio? Por favor revisalo y contanos así podemos ayudarte mejor.

Saludos

[Rashed]

Exacto esa seria la funcion y se pide que pruebe en P0=(0,0).

[statistic_man]

En todo \( \mathbb R^2 \) salvo en el \( (0,0) \) es claramente continua por ser cociente de polinomios que son continuos . Para el caso del (0,0), tienes que comprobar que \( f(0,0)=\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) \). Por un lado \( f(0,0)=1 \) y para hallar el límite (lo más complicado) puedes utilizar límites según subconjuntos. Yo he tomado \( \{(x,y) \in \mathbb R^2: y=mx\} \) Luego el límite inicial se traduce en uno de una variable, \( lim_{x\to 0} \frac{mx^2}{m^4x^4+3m^2x^2}=lim_{x\to 0} \frac{m x^2}{m^2x^2 (m^2x^2  +3)}=lim_{x\to 0} \frac{1}{m (m^2x^2+3)}=\frac{1}{3m} \). Como el límite puntual depende del valor de la m, concluimos que no existe límite en el punto \( (0,0) \) y es discontínua. Saludos y espero haberte ayudado.

[manooooh]

Hola

Para el primero: Que una función esté definida en un punto \( \vec{x_0} \) quiere decir que es continua en ese punto. Por tanto vamos a analizar las 3 condiciones:

1) \( F(0,0)=1 \)
2) \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{\dfrac{xy}{x^4+3y^2}}\underbrace{=}_{\text{Con } y=x^2}\displaystyle\lim_{x\to 0}{\dfrac{x\cdot x^2}{x^4+3{\left(x^2\right)}^2}}=\displaystyle\lim_{x\to 0}{\dfrac{x^3}{4x^4}}=\displaystyle\lim_{x\to 0}{\dfrac{1}{4x}} \) que arroja \( +\infty \) cuando \( x\to 0^+ \) y \( -\infty \) cuando \( x\to 0^- \); por tanto el límite no existe.

\( \therefore\quad F\text{ no es continua en }(0,0) \).

2 Existe el limite de f(b)

¿Quién es \( f \)? ¿Quién es \( b \)?

Saludos

P.D.: statistic_man disparó más rápido.

[Rashed]

Claro habia seguido el camino de y=mx reemplazando pero cuando llegaba me quedaba en lo mismo por no probar y comparar los limites laterales!.
 Muchisimas gracias a todos!.