Hola.
Buenas tardes,
Estoy teniendo problemas para demostrar esta proposición.
\( a - b | a^n - b^n, \forall{n\in{N}}, a\neq b\in{Z} \)
Desde ya les agradezco su ayuda
Saludos.
Si \( a-b \) es divisor de \( a^n-b^n \) , el cociente debe ser entero.
\( \displaystyle\frac{a^n-b^n}{a-b}=\displaystyle\frac{b^n\left[{\left({\displaystyle\frac{a}{b}}\right)^n-1}\right]}{b\left[{\left({\displaystyle\frac{a}{b}}\right)-1}\right]}=\displaystyle\frac{b^{n-1}\left[{\left({\displaystyle\frac{a}{b}}\right)^n-1}\right]}{\displaystyle\frac{a}{b}-1} \) y además \( \displaystyle\frac{\left({\displaystyle\frac{a}{b}}\right)^n-1}{\displaystyle\frac{a}{b}-1} \) es la expresión de la súma de los n-1 primeros términos de una progresión geométrica de razón \( a \over b \) .
Creo que con esto puedes terminarlo tu.
Saludos.
P.D.: Se me adelanto Juan Pablo. Lo dejo por ser un camino distinto.
