Hola.
Me dan el siguiente polinomio con coeficientes en \( \mathbb{Z}_3=\left\{{0,1,2}\right\} \):
\( y^2+2x+2=0 \), el cual es un polinomio irreducible en \( \mathbb{F}_9 \).
Necesitaría encontrar un polinomio irreducible en \( \mathbb{F}_9 \), tal que compuesto con el anterior sea irreducible en \( \mathbb{F}_{81} \).
He probado con este: \( y^2+(y+2)y+2 = 0 \), que es irreducible en \( \mathbb{F}_9 \), pero al componer (los coeficientes van módulo 3):
\( (y^2+2y+2)^2 + (y+2)(y^2+2y+2)+2=(y^4+4y^3+8y^2+8y+4)+(y^3+4y^2+6y+4)+2= y^4+5y^3+12y^2+14y+10 = y^4+2y^3+2y+1 \)
El cual no es irreducible en \( \mathbb{F}_{81} \).
Polinomios irreducibles en \( \mathbb{F}_{81} \) son, por ejemplo:
\( y^4+x+2=0 \)
\( y^4+2y+2=0 \)
\( y^4+y^2+2=0 \)
\( y^4+2y^2+2=0 \)
\( y^4+y^2+y+1=0 \)
\( y^4+y^2+2y+1=0 \)
Pero necesito uno irreducible en \( \mathbb{F}_9 \) para componerlo con \( y^2+2x+2=0 \) y que me salga irreducible en \( \mathbb{F}_{81} \).
Besos.
