Para ver la equivalencia entre (1) y (2) tienes que aplicar la identidad algebraica de cambio de base del logaritmo definida como \( \log_y(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(y)} \), para valores \( x,y>0 \); y la identidad \( \log (x\cdot y)=\log(x)+\log(y) \), en tu caso más bien \( \log(x/y)=\log(x)-\log(y) \).
Y luego de (2) pasas a (3) con la identidad de la serie geométrica \( \frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k \) cuando \( x\to 0 \) que es válida para valores tales que \( |x|<1 \), lo que significa que tenemos que considerar que \( \left|\frac{\log_2(p)}{\log_2(n)}\right|=\left|\frac{\ln(p)}{\ln(n)}\right|< 1 \). La identidad de la serie geométrica se puede escribir usando la notación de Landau como \( \frac1{1-x}\in 1+x+\ldots+x^n+O(x^{n+1}) \) cuando \( x \) tiende a cero para cualquier \( n\in\Bbb N \) que elijamos, en tu caso para \( n=1 \). (Aunque la serie geométrica es la serie de Maclaurin de la función \( f(x):=\frac1{1-x} \), dicho de otro modo, la serie de Taylor de \( f \) alrededor de \( x=0 \).)Otra forma de pasar de (2) a (3) sería verificar directamente que
\( \displaystyle \frac1{1-y}-1-y\in O(y^2),\quad\text{ cuando }y\to 0\tag{*} \)
para \( y:=\frac{\ln p}{\ln n}=\frac{\ln(n)}{\ln(p)} \). Para verificar (*) arreglamos el lado izquierdo, quedando la expresión \( \frac{y^2}{1-y}\in O(y^2),\quad\text{cuando }y\to 0 \), y usando la definición de la notación de Landau lo anterior en este caso es equivalente a decir que \( \lim_{y\to 0}\frac{\frac{y^2}{1-y}}{y^2}\in\Bbb R \), lo cual es cierto ya que tal límite es \( 1 \).
No sé si te habrá quedado claro.
EDICIÓN: no es necesario que \( \left|\frac{\log_2(p)}{\log_2(n)}\right|=\left|\frac{\ln(p)}{\ln(n)}\right|< 1 \), se puede usar el teorema de Taylor directamente, el cual no necasita que la serie de Taylor exista o que ésta sea convergente.
