Autor Tema: Problema de puntos en un plano

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16 Mayo, 2018, 02:55 am
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karenT

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Saludos

Quisiera solicitar su ayuda con el siguiente problema, llevo días a torada y no se como continua, he aplicado propiedades de la norma pero no llego a algún resultado que me de información.

Sea A un vector no nulo, c un número y Q un punto. Se R el punto de intersección de la recta que pasa por Q en la dirección de A con el plano \( X\cdot{A}=c \).

Demostrar que para todos los puntos P del plano se tiene que \(  \left\|{Q-R}\right\|\leq{ \left\|{Q-P}\right\|} \)

Agradezco sus sugerencias y comentarios.

16 Mayo, 2018, 10:14 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Saludos

Quisiera solicitar su ayuda con el siguiente problema, llevo días a torada y no se como continua, he aplicado propiedades de la norma pero no llego a algún resultado que me de información.

Sea A un vector no nulo, c un número y Q un punto. Se R el punto de intersección de la recta que pasa por Q en la dirección de A con el plano \( X\cdot{A}=c \).

Demostrar que para todos los puntos P del plano se tiene que \(  \left\|{Q-R}\right\|\leq{ \left\|{Q-P}\right\|} \)

Agradezco sus sugerencias y comentarios.

El punto \( R \) es la proyección ortogonal sobre el plano del punto \( Q \); la propiedad que tienes que probar es que éste es el punto más cercano.

Ahora el vector \( \vec{PR} \) y el vector \( \vec{RQ} \) son perpendiculares: Fíjate que \( \vec{RQ} \) es paralelo a \( \vec A \) (porque la recta \( RQ \) tiene la dirección de \( A \)).

Entonces:

\( \vec{PR}\cdot \vec {RQ}=\vec {PR}\cdot \lambda\vec A=\lambda(R\cdot A-P\cdot A)=\lambda(c-c)=0 \)

Por el Teorema de Pitágoras:

\( \|\vec{QP}\|^2=\|\vec{QR}+\vec{RP}\|^2=\|\vec{QR}\|^2+\|\vec{RP}\|^2\geq \|\vec{QR}\|^2 \)

Saludos.