Caso base para \( n=1 \) se cumple, es decir, \( \frac22\le 1 \). Asumimos que se cumple para algún \( n\ge 1 \) y debemos demostrar que se cumple para \( n+1 \).
Para \( n+1 \) tenemos
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{n+1+k}{k+1}=\sum_{k=1}^n\frac{n+k}{k+1}+\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k+1}+2\le 1+(n+1)n=1+n(n-1)+2n\tag1 \)
Entonces usando la hipótesis inductiva en (1) vemos que bastaría con demostrar que \( \displaystyle H_{n+2}+1\le 2n \), donde \( H_n:=\sum_{k=1}^n\frac1k \) es un número armónico. Y aquí es donde se complica un poco.
Una manera de resolver es comparando los números armónicos con la integral de la función \( f(x):=1/x \) enter \( 1 \) y \( n \), que no es más que el logaritmo, es decir que \( H_n\le 1+\ln n \). Ahora podemos entonces intentar demostrar la desigualdad \( 2+\ln (n+2)\le 2n \), la cual es inmediata para valores de \( n\ge 3 \) sabiendo que \( 1+\ln x\le x \) para \( x>0 \), y para el caso \( n=2 \) es trivial usando la desigualdad original. Quizá haya otra manera más sencilla de hacer la segunda parte de la demostración pero ahora no se me ocurre.
CORRECCIÓN. Había algunos errores.
