[follonic]

Se pide hallar el núcleo y a imagen de la aplicación lineal \( f: R^3\rightarrow{R^3} \), definida por \( f(x,y,z)= (x+z, y, x+ 2y+z) \)

Operando, se obtiene que el subespacio \( Ker(f) \) tiene base \( (-1, 0, 1) \)

Hasta aquí no hay problema. La cuestión llega para hallar la imagen de \( f \). Así, se dice que, de lo anterior, un sistema de generadores será \( f\left\{{(1, 0, 0), f(0, 1, 0), f(0,0,1}\right\}  \) y, a continuación se afirma que tal es igual a este sistema de generadores \( \left\{{(1,0, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)}\right\} \), sistema de generadores que se dice que es la base de la imagen de la aplicación lineal \( im(f) \) (en realidad, \( \left\{{(1,0, 1), (0, 1, 2)}\right\} \))

Mi pregunta es ¿cómo se ha operado para obtener este último sistema de generadores? Es decir, \( \left\{{(1,0, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)}\right\} \)


Gracias

(Ejercicio del "Algebra Lineal" de Merino/Santos, 2016, pág.150)

[delmar]

Hola

Se pide hallar el núcleo y la imagen de la aplicación lineal \( f: \mathbb{R}^3\to{\mathbb{R}^3} \), definida por \( f(x,y,z)= (x+z, y, x+ 2y+z) \)

Operando, se obtiene que el subespacio \( Ker(f) \) tiene base \( (-1, 0, 1) \)

Hasta aquí no hay problema. La cuestión llega para hallar la imagen de \( f \). Así, se dice que, de lo anterior, un sistema de generadores será \( f\left\{{(1, 0, 0), f(0, 1, 0), f(0,0,1}\right\}  \) y, a continuación se afirma que tal es igual a este sistema de generadores \( \left\{{(1,0, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)}\right\} \), sistema de generadores que se dice que es la base de la imagen de la aplicación lineal \( im(f) \) (en realidad, \( \left\{{(1,0, 1), (0, 1, 2)}\right\} \))

Mi pregunta es ¿cómo se ha operado para obtener este último sistema de generadores? Es decir, \( \left\{{(1,0, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)}\right\} \)


Gracias

(Ejercicio del "Algebra Lineal" de Merino/Santos, 2016, pág.150)

Lo que está en rojo no es cierto. \( \left\{{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}\right\} \) es un sistema generador de \( R^3 \); pero no de la imagen de f, para que lo sea, todos sus elementos han de pertenecer a la imagen de f y eso no ocurre.

\( f(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}{x+z}\\{y}\\{x+2y+z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x+0y+z}\\{0x+y+0z}\\{x+2y+z}\end{array}\right]=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{2}&{1}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}{x}\\{y}\\{z}\end{array}\right] \)

De acá se puede deducir que :

\( Im(f)=\left\{{x\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{1}\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{1}\\{2}\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{1}\end{array}\right], \ \ x,y,z\in{R}}\right\}=\left\{{c_1\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{1}\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{1}\\{2}\end{array}\right], \ \ c_1,c_2 \ \in{R}}\right\} \)

En otras palabras \( Im(f)=L(\left\{{\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{1}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{1}\\{2}\end{array}\right]}\right\}) \) es la envolvente lineal de los dos vectores mencionados, por ser ambos vectores linealmente independientes, ambos vectores constituyen una base de la imagen de f, en consecuencia la dimensión de la imagen de f es 2. Ahora se ve por que la base canónica de \( R^3 \) no es un sistema generador de la imagen de f, por que en caso lo sea, tendríamos tres elementos de la imagen de f (elementos de la base canónica) linealmente independientes, que generan a la imagen de f, en consecuencia la dimensión de la imagen de f sería 3, lo cual es un absurdo por que se sabe que la dimensión es 2, esto implica que uno de los elementos de la base canónica no pertenece a la imagen de f

Saludos

[follonic]

Ahora sí lo veo. Gracias