[Death]

Determinar dominio máximo y rango de la función:

$$g(y)=\frac{y+1}{\sqrt{y}}$$

Gracias de antemano, saludos

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que \(  \sqrt{y}  \) sólo está definida cuando \(  y \geq 0  \) como \(  \sqrt{0} = 0  \) un candidato del  dominio es \(  ]0,+\infty[ \).


En los próximos mensajes pon lo que intentas en cada mensaje.

Editado

Teniendo esto en cuenta, \(  x + \dfrac{1}{x} \geq 2  \) , para \( x >  0  \) la igualdada sólo se da para \(  x = 1 \).

\(  \dfrac{y +1 }{\sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} +1}{\sqrt{y}} = \sqrt{y} + \dfrac{1}{\sqrt{y}}  \)

[Death]

Dominio: La restricción necesaria sería que \( \sqrt{y} \)  sea distinto de >0, debido a que con 0 se indefine y con menor a 0 dará algo que no pertenece a los \( \mathbb{R} \)

Dominio máximo: No posee, dado que no existe un máximo del \( ]0,\infty[ \)

Recorrido: Acá la parte en la que considero que peor estoy.

Primero dejaría \( g(y)=x \)

Luego despejaría el \( y \)

\( x=\frac{y+1}{\sqrt{y}} \)
Elevo al cuadrado
\( x^2=\frac{(y+1)^2}{y} \)
\( x^2=\frac{y^2+2y+1}{y} \)

Luego de esto la verdad no sé qué restricciones hacer o qué hacer para poder despejar x, saludos y gracias de antemano

[Death]

Editado

Teniendo esto en cuenta, \(  x + \dfrac{1}{x} \geq 2  \) , para \( x >  0  \) la igualdada sólo se da para \(  x = 1 \).

\(  \dfrac{y +1 }{\sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} +1}{\sqrt{y}} = \sqrt{y} + \dfrac{1}{\sqrt{y}}  \)

Una pregunta, ¿de donde viene eso y a qué se refiere? gracias de antemano

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que \(  g(y) = \dfrac{y+1}{\sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}} = \sqrt{y} + \dfrac{1}{\sqrt{y}} \geq 2  \).

Entonces \(  g(y) \geq 2  \) obtenemos que \(  g(]0+\infty[) = [2+\infty[  \)

Obtenemos lo querido.

[Death]

Tienes que \(  g(y) = \dfrac{y+1}{\sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}} = \sqrt{y} + \dfrac{1}{\sqrt{y}} \geq 2  \).

Entonces \(  g(y) \geq 2  \) obtenemos que \(  g(]0+\infty[) = [2+\infty[  \)

Obtenemos lo querido.

Una pregunta por qué es esa expresión de la izquierda es \( \geq{2} \)?

[Juan Pablo Sancho]

Eso proviene de la desigualdad:

Teniendo esto en cuenta, \(  x + \dfrac{1}{x} \geq 2  \) , para \( x >  0  \) la igualdada sólo se da para \(  x = 1 \).

Spoiler

Si \(  x > 0  \)
\(   0 \leq (x-1) ^2 = x^2 + 1 - 2 \cdot x  \)
\(  2 \cdot x \leq 1+x^2  \) y dividir por \( x \)

[cerrar]