[megasaw]

Buenas, tengo tres ejercicios, el primero lo resolví pero creo está mal porque no consideré la condición, y el segundo y tercero no sé por dónde empezar a demostrarlo. Espero puedan ayudarme:

1. Sea A una matriz antisimétrica de nxn, X una matriz de nx1. Demostrar que \(  X^T AX=0 , \forall{X } \)de nx1
Lo que hice fue partir de \(  AX=0  ,   A=-A^T \) 
\(  
AX=0  \longrightarrow{(-A)^TX=0  }\rightarrow{X^T(-A^T)X=0}




 \)
Luego de agrupar y aplicar Traspuesta:
\(
X^T(-AX)=0   \rightarrow{X^T*AX=0 }

         

 \)
El problema aqui es que no consideré el orden de X, ya que la traspuesta sería de 1xn con lo que no se podría multiplicar.

2.- Demuestre que si A es antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 0.

 Este problema no sé ni cómo comenzarlo.

3.- Determine una matriz idempotente, que no sea \(  I_n , 0 \). Además demuestre que la única matriz nxn idempotente no singular es \(  I_n \)


Espero puedan ayudarme.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas, tengo tres ejercicios, el primero lo resolví pero creo está mal porque no consideré la condición, y el segundo y tercero no sé por dónde empezar a demostrarlo. Espero puedan ayudarme:

1. Sea A una matriz antisimétrica de nxn, X una matriz de nx1. Demostrar que \(  X^T AX=0 , \forall{X } \)de nx1
Lo que hice fue partir de \(  AX=0  ,   A=-A^T \) 
\(  
AX=0  \longrightarrow{(-A)^TX=0  }\rightarrow{X^T(-A^T)X=0}
 \)

Pero el punto de partida ya está mal. No es cierto que \( AX=0 \).

La idea es la siguiente, \( X^tAX \) es una matriz \( 1\times 1 \), es decir, un número y por tanto coincide con su traspuesta. A partir de ahí:

\( X^tAX=(X^tAX)^t=X^tA^t(X^t)^t=X^tA^tX \)

utiliza la antisimetría, es decir, que \( A^t=-A \) y concluye.

2.- Demuestre que si A es antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 0.

Por ser antisimétrica \( A^t=-A \). Utiliza que los elementos de la diagonal principal de una matriz y de su traspuesta coinciden y concluye.

3.- Determine una matriz idempotente, que no sea \(  I_n , 0 \). Además demuestre que la única matriz nxn idempotente no singular es \(  I_n \)

Toma una matriz diagonal con unos y ceros en la misma.

Por otra parte si \( A \) es idempotente cumple \( A^2=A \) si además es no singular:

\( A^2=A\quad \Rightarrow{}\quad A^{-1}A^2=A^{-1}A\quad \Rightarrow{}\quad A=Id. \)

Saludos.

[megasaw]

Hola

Buenas, tengo tres ejercicios, el primero lo resolví pero creo está mal porque no consideré la condición, y el segundo y tercero no sé por dónde empezar a demostrarlo. Espero puedan ayudarme:

1. Sea A una matriz antisimétrica de nxn, X una matriz de nx1. Demostrar que \(  X^T AX=0 , \forall{X } \)de nx1
Lo que hice fue partir de \(  AX=0  ,   A=-A^T \) 
\(  
AX=0  \longrightarrow{(-A)^TX=0  }\rightarrow{X^T(-A^T)X=0}
 \)

Pero el punto de partida ya está mal. No es cierto que \( AX=0 \).

La idea es la siguiente, \( X^tAX \) es una matriz \( 1\times 1 \), es decir, un número y por tanto coincide con su traspuesta. A partir de ahí:

\( X^tAX=(X^tAX)^t=X^tA^t(X^t)^t=X^tA^tX \)

utiliza la antisimetría, es decir, que \( A^t=-A \) y concluye.

2.- Demuestre que si A es antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 0.

Por ser antisimétrica \( A^t=-A \). Utiliza que los elementos de la diagonal principal de una matriz y de su traspuesta coinciden y concluye.

3.- Determine una matriz idempotente, que no sea \(  I_n , 0 \). Además demuestre que la única matriz nxn idempotente no singular es \(  I_n \)

Toma una matriz diagonal con unos y ceros en la misma.

Por otra parte si \( A \) es idempotente cumple \( A^2=A \) si además es no singular:

\( A^2=A\quad \Rightarrow{}\quad A^{-1}A^2=A^{-1}A\quad \Rightarrow{}\quad A=Id. \)

Saludos.

Muchas gracias.