[megasaw]

Tengo este ejercicio pero no recuerdo haber estudiado alguna propiedad que me ayude a resolverlo. Dice así:
Sea \(  A  \) una matriz de 3x3 suponga que \(  X=\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{-3}\end{array}\right]  \), es una solución del sistema homogéneo \(  AX=0  \). ¿A es singular o no singular? Justifique. Espero puedan ayudarme, gracias.

[delmar]

Hola


\( ¿\left |{A}\right |=\left |{A^T}\right |? \) . ¿El determinante de A es igual al de su traspuesta?

En caso afirmativo ¿son las filas de la traspuesta (columnas de A) linealmente independientes? Obviamente NO, por que hay un grupo de constantes \( \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{-3}\end{array}\right]\neq{\vec{0}} \) tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{x_i \ A^T_i}=\vec{0} \),  donde \( A^T_i \) es la fila i de la traspuesta.

¿Qué se puede decir del determinante de una  matriz cuando sus filas son linealmente independientes o cuando son linealmente dependientes? Determinante distinto de cero cuando son linealmente independientes y determinante cero cuando son linealmente dependientes.

¿Qué se puede decir respecto a la singularidad de una matriz cuando su determinante es cero?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

\( ¿\left |{A}\right |=\left |{A^T}\right |? \) . ¿El determinante de A es igual al de su traspuesta?

En caso afirmativo ¿son las filas de la traspuesta (columnas de A) linealmente independientes? Obviamente NO, por que hay un grupo de constantes \( \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{-3}\end{array}\right]\neq{\vec{0}} \) tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{x_i \ A^T_i}=\vec{0} \),  donde \( A^T_i \) es la fila i de la traspuesta.

¿Qué se puede decir del determinante de una  matriz cuando sus filas son linealmente independientes o cuando son linealmente dependientes? Determinante distinto de cero cuando son linealmente independientes y determinante cero cuando son linealmente dependientes.

¿Qué se puede decir respecto a la singularidad de una matriz cuando su determinante es cero?

Sólo un matiz; el mismo razonamiento se puede hacer directamente sin aludir a la traspuesta. Que \( AX=0 \) se puede interpretar como que una combinación lineal no trivial de las columnas de \( A \) es no nula y por tanto éstas son dependientes.

Otro razonamiento puede ser por reducción al absurdo; si \( A \) fuese no singular tiene inversa pero entonces:

\( AX=0\quad \Rightarrow{}\quad A^{-1}AX=A^{-1}0\quad \Rightarrow{}\quad X=0 \)

Saludos.

[megasaw]

Hola

\( ¿\left |{A}\right |=\left |{A^T}\right |? \) . ¿El determinante de A es igual al de su traspuesta?

En caso afirmativo ¿son las filas de la traspuesta (columnas de A) linealmente independientes? Obviamente NO, por que hay un grupo de constantes \( \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{-3}\end{array}\right]\neq{\vec{0}} \) tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{x_i \ A^T_i}=\vec{0} \),  donde \( A^T_i \) es la fila i de la traspuesta.

¿Qué se puede decir del determinante de una  matriz cuando sus filas son linealmente independientes o cuando son linealmente dependientes? Determinante distinto de cero cuando son linealmente independientes y determinante cero cuando son linealmente dependientes.

¿Qué se puede decir respecto a la singularidad de una matriz cuando su determinante es cero?

Sólo un matiz; el mismo razonamiento se puede hacer directamente sin aludir a la traspuesta. Que \( AX=0 \) se puede interpretar como que una combinación lineal no trivial de las columnas de \( A \) es no nula y por tanto éstas son dependientes.

Otro razonamiento puede ser por reducción al absurdo; si \( A \) fuese no singular tiene inversa pero entonces:

\( AX=0\quad \Rightarrow{}\quad A^{-1}AX=A^{-1}0\quad \Rightarrow{}\quad X=0 \)

Saludos.

He entendido mejor tu respuesta, gracias.