[AprendizDeMate]

Buenas tardes, estoy teniendo problemas para demostrar la siguiente proposición. El caso base no tengo problemas, no así el caso Inductivo [texx]p(n)\Rightarrow{p(n+1)}[/texx]. Desde ya gracias por la ayuda

[texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\frac{(n+i)}{(2i-3)} }= 2^n(1-2n)[/texx]

[pierrot]

Mira por aquí.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas tardes, estoy teniendo problemas para demostrar la siguiente proposición. El caso base no tengo problemas, no así el caso Inductivo [texx]p(n)\Rightarrow{p(n+1)}[/texx]. Desde ya gracias por la ayuda

[texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\frac{(n+i)}{(2i-3)} }= 2^n(1-2n)[/texx]

Nota que:

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{n+1}{\frac{(n+1+i)}{(2i-3)} }=\dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(2(n+1)-3)(n+1)}\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\frac{(n+i)}{(2i-3)} }=\dfrac{2(2n+1)}{(2n-1)(n+1)}\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\frac{(n+i)}{(2i-3)} } \)


Ahora:

\( \dfrac{2(2n+1)}{(2n-1)(n+1)}\cdot 2^n(1-2n)=2^{n+1}(-1)(2n+1)=2^{n+1}(-1-2n)=2^{n+1}(1-2(n+1)) \)

Saludos.

[AprendizDeMate]

Mira por aquí.

Muchas gracias por el link, no lo había encontrado

[AprendizDeMate]

Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas tardes, estoy teniendo problemas para demostrar la siguiente proposición. El caso base no tengo problemas, no así el caso Inductivo [texx]p(n)\Rightarrow{p(n+1)}[/texx]. Desde ya gracias por la ayuda

[texx]\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\frac{(n+i)}{(2i-3)} }= 2^n(1-2n)[/texx]

Nota que:

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{n+1}{\frac{(n+1+i)}{(2i-3)} }=\dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(2(n+1)-3)(n+1)}\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\frac{(n+i)}{(2i-3)} }=\dfrac{2(2n+1)}{(2n-1)(n+1)}\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\frac{(n+i)}{(2i-3)} } \)


Ahora:

\( \dfrac{2(2n+1)}{(2n-1)(n+1)}\cdot 2^n(1-2n)=2^{n+1}(-1)(2n+1)=2^{n+1}(-1-2n)=2^{n+1}(1-2(n+1)) \)

Saludos.

Gracias por la Bienvenida, además te agradezco por la explicación.