[AlbertoWilliams]

Lo del título muchachos, pasa que desde anoche estoy estudiando álgebra y aplicando tanto las definiciones como los axiomas del álgebra he podido deducir algunas formulas bastante generales, pero intentando estudiar y demostrar las propiedades de las potencias, he llegado a un pequeño problema al intentar demostrar que:

\( \displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc} \)

Ya que, expresado de otra manera quedaría como:

\( \displaystyle (ab^{-1})(cd^{-1})^{-1}=(ad)(bc)^{-1} \)

Luego, sabiendo que \( \displaystyle(x^{n})^{m}=x^{nm} \), entonces:

\( \displaystyle (ab^{-1})(c^{-1}d^{((-1)(-1))}) \)

Mi problema entonces, está acá, hasta ahora tengo todas las demas expresiones cubiertas a través de propiedades, salvo aquello de \( \displaystyle (-1)(-1)=1 \). Podría facilmente asumirlo y felizmente continuar con la demostración diciendo que simplemente \( \displaystyle (ad)(bc)^{-1} \) y entonces la proposición sería aparentemente verdadera, pero no sería lo mismo que demostrarlo a través de otras formulas tambien demostradas formalmente.
Lo que quiero decir es que podría asumir que, tal y como he leido en mi busqueda "es un consenso", pero esa respuesta no me llena y siento que necesito una demostración formal. En todo caso siento que debe haber una demostracion de ello puesto que no creo que todas las formulas del algebra se hayan sacado tal proposición de un consenso, por mas obvio que pueda parecer. Y si tal proposición no fuese demostrable dentro del algebra pero aún fuera cierta, entonces ¿Por qué no tomarla como axioma?

[Masacroso]

Es una consecuencia de los axiomas que definen un cuerpo ordenado. La demostración la hice hace tiempo pero no recuerdo todos los pasos, luego si la encuentro (o la hago de nuevo) la pongo.

EDICIÓN: una posible demostración es así (puede que falte algún paso):

\( \begin{align*}0=1+(-1)&\iff (-1)\cdot 0=(-1)\cdot(1+(-1))\\&\iff 0=(-1)\cdot 1+(-1)^2\\&\iff 0=(-1)+(-1)^2\\&\iff 1=1+(-1)+(-1)^2\\&\iff 1=(-1)^2\end{align*} \)

Ahí se hace uso de las propiedades del 0 y el 1 en un cuerpo, las propiedades de grupo de los reales respecto a la suma, la definición de potencias enteras como multiplicaciones finitas, etc... Faltaría demostrar que \( 0\cdot x=0 \) para todo \( x\in\Bbb R \), y que \( a=b\iff a\cdot c=b\cdot c \) para todo \( a,b,c\in\Bbb R \) con \( c\neq 0 \) y que \( a=b\iff a+c=b+c \) para todo \( a,b,c\in\Bbb R \), lo cual necesita utilizar los axiomas de orden de un cuerpo ordenado, la definición de igualdad, etc...

[Juan Pablo Sancho]

Una demostració:
\(  0 = 1 + (-1)  \) entonces \(  (-1) \cdot 0 = 0 = (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = (-1) + (-1) \cdot (-1)  \)

\(  a \cdot 0 = a \cdot (0+0) = a \cdot 0 + a \cdot 0  \) entonces \(  a\cdot 0 = 0  \)

Masacroso se adelantó.

Editado

Otro camino parecido es : (que es la demostración de negativo por negativo positivo)
Sean \(  a,b \in \mathbb{R}  \) entonces:      \(  a \cdot (-b) + (-a) \cdot (-b) = (a+(-a)) \cdot (-b) = 0 \cdot (-b) = 0 \)

Entonces :

\(  1 \cdot (-1) = -1  \)

\(  1 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 0  \)

[Fernando Revilla]

¿Debería ser (-1)² = 1 un axioma?

No, es un caso particular de la propiedad \( (-a)(-b)=ab \) deducida a partir de los axiomas de anillo: mira aquí (ejercicio 3. 3).

[AlbertoWilliams]

Muchas gracias compañeros, en general estoy bastante interesado en sus respuestas, estuve investigando un poco sobre algunos conceptos que usaron y me di cuenta de que muchas son definiciones del álgebra abstracta (la cual no conocía hasta ahora), y, disculpenme si me salgo un poco del tema pero, ¿Debería estudiar álgebra abstracta o debería continuar con el álgebra "clásica"?
Volviendo al tema, aunque ya estoy satisfecho con las respuestas, quise intentar deducir la propiedad por mi mismo, y he llegado a una posible demostración (y digo posible porque llevo un rato analizandolo bien y creo que realmente no he demostrado nada), en fin, acá lo que hice:

Si \( \displaystyle (-1)^{2}=1 \), y sabiendo que \( \displaystyle a+(-a)=0 \), entonces \( \displaystyle (-1)^{2}-1=0 \), moviendo el \( \displaystyle -1 \) quedaría que \( \displaystyle (-1)^{2}-1+1=0+1 \), y por lo tanto, nos quedaría lo que buscamos, osease que \( \displaystyle (-1)^{2}=1 \).

En general, pienso que no he demostrado absolutamente nada porque ahora que lo veo bien, solo estoy asumiendo algo y trabajando en base a esa hipotesis, pero no se... Realmente para no perder mas tiempo intentaré dejar el asunto para otra ocación, no es completamente necesario que lo demuestre por mi mismo, quiero decir, ustedes me han probado que la identidad es cierta y pues, nada, la usaré, así que... De nuevo, gracias.

[Masacroso]

Muchas gracias compañeros, en general estoy bastante interesado en las preguntas, estuve investigando un poco sobre algunos conceptos que usaron y me di cuenta de que muchas son definiciones del álgebra abstracta (la cual no conocía hasta ahora), y, disculpenme si me salgo un poco del tema pero, ¿Debería estudiar álgebra abstracta o debería continuar con el álgebra "clásica"?
Volviendo al tema, aunque ya estoy satisfecho con las respuestas, quise intentar deducir la propiedad por mi mismo, y he llegado a una posible demostración (y digo posible porque llevo un rato analizandolo bien y creo que realmente no he demostrado nada), en fin, acá lo que hice:

Si \( \displaystyle (-1)^{2}=1 \), y sabiendo que \( \displaystyle a+(-a)=0 \), entonces \( \displaystyle (-1)^{2}-1=0 \), moviendo el \( \displaystyle -1 \) quedaría que \( \displaystyle (-1)^{2}-1+1=0+1 \), y por lo tanto, nos quedaría lo que buscamos, osease que \( \displaystyle (-1)^{2}=1 \).

En general, pienso que no he demostrado absolutamente nada porque ahora que lo veo bien, solo estoy asumiendo algo y trabajando en base a esa hipotesis, pero no se... Realmente para no perder mas tiempo intentaré dejar el asunto para otra ocación, no es completamente necesario que lo demuestre por mi mismo, quiero decir, ustedes me han probado que la identidad es cierta y pues, nada, la usaré, así que... De nuevo, gracias.

Es que depende de la teoría que tengas sobre la que quieras hacer la demostración. ¿Qué reglas tienes definidas sobre los números reales con las cuales quieres demostrar que \( (-1)^2=1 \)? Si estás usando el álgebra "normal" de los números reales quizá este vídeo responda a tu pregunta (aunque está en inglés le puedes poner subtítulos en castellano):

(Por cierto ese canal es mi canal favorito de matemáticas en youtube, tiene muy buenos vídeos).

[AlbertoWilliams]

Es que depende de la teoría que tengas sobre la que quieras hacer la demostración. ¿Qué reglas tienes definidas sobre los números reales con las cuales quieres demostrar que \( (-1)^2=1 \)? Si estás usando el álgebra "normal" de los números reales quizá este vídeo responda a tu pregunta (aunque está en inglés le puedes poner subtítulos en castellano):

(Por cierto ese canal es mi canal favorito de matemáticas en youtube, tiene muy buenos vídeos).

Estoy usando los axiomas y definiciones del álgebra, llamemosla "clásica". Por cierto, buen video, me gustó bastante, quiero decir, fué una buena manera de obtener una perspectiva general y un tanto mas enfocada sobre las multiplicaciones con números negativos.

En fin, supongo que ya puedo dar por resuelta mi duda, de verdad, gracias a todos, muchachos, en todo caso, si llego a tener alguna formula que considere que pueda compartir sobre esto se los compartiré sin dudar.