[Death]

Sea \( f:]1,+ \infty [ \rightarrow \mathbb{R} \), definida como \( f(x)= \displaystyle\frac{x^2}{x^2 -1} \)

Determine el rango de \( f \).

¿Como puedo determinar el rango de esta función?

Gracias de antemano por su ayuda

[Fernando Revilla]

Sea \( f:]1,+ \infty [ \rightarrow \mathbb{R} \), definida como \( f(x)= \displaystyle\frac{x^2}{x^2 -1} \) Determine el rango de \( f \).

Comprueba que \( f'(x) < 0 \) para \( x\in (1,+\infty) \) (estrictamente decreciente). Por otra parte, \( \displaystyle\lim_{x \to 1^+}{f(x)}=+\infty \) y \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty}{f(x)}=1. \) Todo esto junto con el teorema de los valores intermedios para funciones continuas implica que \( \text{rango }f=[1,+\infty). \)

[hméndez]

Sea \( f:]1,+ \infty [ \rightarrow \mathbb{R} \), definida como \( f(x)= \displaystyle\frac{x^2}{x^2 -1} \)

Determine el rango de \( f \).

¿Como puedo determinar el rango de esta función?

Gracias de antemano por su ayuda

Hola Death, otra manera de determinar el rango puede ser:


\( f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x^2-1}=1+\displaystyle\frac{1}{x^2-1} \)


Entonces para \( x \) \( \in{}]1, +\infty[  \) tenemos:


\( x>1\Longleftrightarrow{} \quad x^2>1\quad \wedge\quad x>1 \)

       
         \( \Longleftrightarrow{} \quad x^2-1>0\quad \wedge \quad x>1 \)


         \( \Longleftrightarrow{} \quad \displaystyle\frac{1}{x^2-1}>0\quad  \wedge \quad  x>1 \)


         \( \Longleftrightarrow{} \quad 1+\displaystyle\frac{1}{x^2-1}>1 \quad \wedge \quad  x>1 \)



Luego el rango de \( f \) es \(  ]1, +\infty [  \)


Saludos

[Death]

Una pregunta, ¿De donde salió el \( x^{2}>1 \) en el primer paso?

gracias de antemano

[Death]

Sea \( f:]1,+ \infty [ \rightarrow \mathbb{R} \), definida como \( f(x)= \displaystyle\frac{x^2}{x^2 -1} \) Determine el rango de \( f \).

Comprueba que \( f'(x) < 0 \) para \( x\in (1,+\infty) \) (estrictamente decreciente). Por otra parte, \( \displaystyle\lim_{x \to 1^+}{f(x)}=+\infty \) y \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty}{f(x)}=1. \) Todo esto junto con el teorema de los valores intermedios para funciones continuas implica que \( \text{rango }f=[1,+\infty). \)

Estoy en primer semestre en la Universidad, aún no me pasan limites, derivadas, ni nada de eso  pero gracias de todas formas

[sugata]

Una pregunta, ¿De donde salió el \( x^{2}>1 \) en el primer paso?

gracias de antemano

Como \( x>1 \) entonces \( x^2>1 \)

[hméndez]

Una pregunta, ¿De donde salió el \( x^{2}>1 \) en el primer paso?

gracias de antemano

Parto de \( x>1 \) puedo elevar los dos miembros al cuadrado y la desigualdad se mantiene. Tiene que ver con las desigualdades
y sus propiedades, imagino que te hablaron de ellas cuando estudiabas la axiomática de los números reales (antes de estudiar funciones ¿no?).


Saludos

Bueno ya sugata contestó, pero igual te envio el mensaje

[sugata]

Una pregunta, ¿De donde salió el \( x^{2}>1 \) en el primer paso?

gracias de antemano

Parto de \( x>1 \) puedo elevar los dos miembros al cuadrado y la desigualdad se mantiene. Tiene que ver con las desigualdades
y sus propiedades, imagino que te hablaron de ellas cuando estudiabas la axiomática de los números reales (antes de estudiar funciones ¿no?).


Saludos

Bueno ya sugata contestó, pero igual te envio el mensaje

Mucho mejor explicado.
Añadiría que la desigualdad se mantiene al ser ambos miembros positivos.

[hméndez]

...
Añadiría que la desigualdad se mantiene al ser ambos miembros positivos.

¡Sí claro!

Saludos