[Death]

Sean a>0, b>0 tales que a<b. Demuestre por inducción que:

$$ \forall n \in \mathbb{N}: a^n < b^n $$

¿Sería correcto asumir una hipótesis a partir del enunciado?, es decir, asumir que 0<a<b a partir del enunciado? para así posteriormente demostrar?

Mi desarrollo a modo de ejemplo de la última parte de la inducción:

Tenemos $$Hipótesis: a^k < b^k$$  $$Tesis: a^{k+1}<b^{k+1}$$
Multiplico Tesis por a a ambos lados
$$a^{k+1}<b^{k}\cdot a$$

Y aquí es cuando hago lo del principio, asumir que el enunciado me da una ''hipótesis'', por lo que con eso sé que
$$a^{k+1}<b^{k} \cdot a < b^{k+1} $$ $$∴ a^{k+1} < b^{k+1} $$

Y quedaría demostrado (supuestamente)

¿Estoy aplicando todo bien?¿ o está mal hacer esto?

muchas gracias de antemano

[Masacroso]

Lo que buscas es aplicar los axiomas de un cuerpo ordenado, es decir, junto a los axiomas de un cuerpo están también estos otros relacionados a la relación de orden sobre el mismo:

1) \( x<y\implies x+z<y+z\quad\forall z\in\Bbb R \)
2) \( x,y>0\implies x\cdot y>0 \)

De esos axiomas se deduce que si \( a<b \) y \( k>0 \) entonces \( a\cdot k<b\cdot k \). Por otro lado si \( 0<a \) y \( a<b \) entonces \( 0<a<b \) es consecuencia de la transitividad de una relación de orden, o simplemente es correcta ya que tienes que \( b>0 \) por definición.

[delmar]

Sean a>0, b>0 tales que a<b. Demuestre por inducción que:

$$ \forall n \in \mathbb{N}: a^n < b^n $$

¿Sería correcto asumir una hipótesis a partir del enunciado?, es decir, asumir que 0<a<b a partir del enunciado? para así posteriormente demostrar?

Pero claro, en el enunciado te están diciendo que \( 0<a<b \), ¿por que no considerarlo cierto, si es cierto?

Saludos

[hear]

Estimados un gusto saludarles, podrían usar este concepto matemático o técnica matemática de la inducción para demostrar lo que os pido en: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=103278.0 ?
Gracias!