[walter_zerocool]

Hola amigos, espero me puedan ayudar con un problema que llevo bastante rato y no logro dar. 

El problema dice:

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad como aparece abajo. Encuentre la función generadora de momentos X y, a aprtir de ella, calcule la media y la varianza de X.

\( f(x)=\begin{cases}
 & 2x \text{ si } 0<x<1 \\
 & 0 \text{ si } en otro caso
\end{cases} \)

Lo que he realizado es lo siguiente:

\( \displaystyle M(t)=\int_{0}^{1} e^{tx}(2x)dx=2 \int_{0}^{1} xe^{tx}=\frac{2e^t}{t}-\frac{2e^t}{t^2}+\frac{2}{t^2} \)

El caso es que para la Media

\( \displaystyle \left.\begin{matrix}
E(X)=\frac{dM(t)}{dt}
\end{matrix}\right|_{t=0} \)

Tengo algo que no converge.

¿me ayudan?

Saludos

[micabua]

Si no me equivoco tienes que calcular:

\( \displaystyle E(X)=\frac{dM(t)}{dt}|_{t=0}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{dM(t)}{dt}=1 \)

Puesto que al hacer partes has dividido entre \( t \).

Un saludo.

[walter_zerocool]

Si no me equivoco tienes que calcular:

\( \displaystyle E(X)=\frac{dM(t)}{dt}|_{t=0}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{dM(t)}{dt}=1 \)

Puesto que al hacer partes has dividido entre \( t \).

Un saludo.

Es correcto lo que mencionas, pero el resultado no es 1, sino que tiende a \( - \infty  \). ¿O estoy mal en ello?

[micabua]

Es correcto lo que mencionas, pero el resultado no es 1, sino que tiende a \( - \infty  \). ¿O estoy mal en ello?

El resultado no es \( 1 \), perdón, si no \( \frac{2}{3} \). Es un cálculo algo engorroso la verdad, pero puedes tirar por l'Hôpital en caso de que se te pida prueba. Lo he comprobado en Mathematica así que supongo que está bien.

De hecho:

\( \displaystyle E[X]=\int_0^1x2xdx=\frac{2}{3} \)

Un saludo.

[walter_zerocool]

Muchas gracias, me ayudaste, lo realice con L'Hopital y me resultó el 2/3. 

[micabua]

De nada