[Quema]

Hola
Dado \( X,Y,Z \)v.a. idénticamente distribuidas. ¿Es cierto que
\( E(X/\displaystyle\frac{1}{3}X+\displaystyle\frac{1}{3}Y+\displaystyle\frac{1}{3}Z)=E(Y/\displaystyle\frac{1}{3}X+\displaystyle\frac{1}{3}Y+\displaystyle\frac{1}{3}Z)=E(Z/\displaystyle\frac{1}{3}X+\displaystyle\frac{1}{3}Y+\displaystyle\frac{1}{3}Z) \)?

[Luis Fuentes]

Hola

 Es falso. Mira aquí:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=10017.new#new

Saludos.

[Quema]

Hola

Sin embargo si en tu contraejemplo \( a=b \)entonces las funciones de densidades son las mismas. Para mi si los pesos son iguales la igualdad de esperanzas condicionadas se cumple.

[Luis Fuentes]

Hola

 mmmm.. pero has "trabajado" el ejemplo. Es decir para la distribución:

\( \left.{\begin{matrix}{X/Y}&{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{0}&{1/4}\\{1}&{1/4}&{0}&{0}\\{2}&{0}&{1/4}&{1/4}\end{matrix}\right. \)

 Calcula:

 \( E(X|X+Y=1) \) y \( E(Y|X+Y=1) \)

Saludos.

[Quema]

Hola

Me parece que cuando se escribe \( E(X/X+Y) \)es una v.a.mientras que en tu ejemplo tu pones \( E(X/X+Y=k) \)ahi deja de ser una v.a. la igualdad se cumple para \( E(X/X+Y) \)como v.a. Es decir, \( Z=X+Y \)tiene dominio igual a \( {0,1,2,3,4} \)con probabilidades \( P(Z=0)=0,P(Z=1)=1/4, P(Z=2)=1/4, P(Z=3)=1/4, P(Z=4)=1/4 \). De ahí la \( E(X/Z)=E(Y/Z) \). Claro que si hago \( E(X/Z=0)=E(Y/Z=0)=0,E(X/Z=1)=1,E(Y/Z=1)=0 \) \( E(X/Z=2)=0,E(Y/Z=2)=2 \),
\( E(X/Z=3)=2,E(Y/Z=3)=1 \)
\( E(X/Z=4)=2,E(Y/Z=4)=2 \)
Al ser diferente alguna de las esperanzas condicionadas para un valor dado de \( Z \)entonces no se cumple, es así?, Si se cumpliera se tendría que cumplir para todos los valores de \( k \)
no?

[Luis Fuentes]

Hola

 Vaya, tienes razón, el ejemplo es demasiado simétrico. Prueba con este:

\( \left.{\begin{matrix}{X/Y}&{0}&{1}&{2}\\{0}&{0}&{2/5}&{0}\\{1}&{1/5}&{0}&{1/5}\\{2}&{1/5}&{0}&{0}\end{matrix}\right. \)

Saludos.

[Quema]

Hola

No te entendí cuando dices que tengo razón, yo creo que es como tu dices, que no se cumple pues existen algunos valores de \( k \)para los cuales \( E(X/Z=k)\neq{}E(Y/Z=k) \)por ejemplo \( k=1, k=2, k=3 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Fíjate que la esperanza condicionada se interpreta como una variable aleatoria, que toma el valor \( E(X|Z=k) \) con probabilidad \( P(Z=k) \).

 Entonces en el primer ejemplo que puse obtienes, para \( E(X|Z) \):

 \( E(X|Z=1)=1 \) con probabilidad \( P(Z=1)=1/4 \)
 \( E(X|Z=2)=0 \) con probabilidad \( P(Z=2)=1/4 \)
 \( E(X|Z=3)=2 \) con probabilidad \( P(Z=3)=1/4 \)
 \( E(X|Z=4)=2 \) con probabilidad \( P(Z=4)=1/4 \)

 En definitiva la variable \( X'=E(X|Z) \) cumple:

\(  P(X'=0)=1/4, \qquad P(X'=1)=1/4,\quad P(X'=2)=1/2 \)

Para \( E(Y|Z) \):

 \( E(Y|Z=1)=0 \) con probabilidad \( P(Z=1)=1/4 \)
 \( E(Y|Z=2)=2 \) con probabilidad \( P(Z=2)=1/4 \)
 \( E(Y|Z=3)=1 \) con probabilidad \( P(Z=3)=1/4 \)
 \( E(Y|Z=4)=2 \) con probabilidad \( P(Z=4)=1/4 \)

 Luego  la variable \( Y'=E(Y|Z) \) cumple:

\(  P(Y'=0)=1/4, \qquad P(Y'=1)=1/4,\quad P(Y'=2)=1/2 \)

 Por tanto \( E(X|Z) \) y \( E(Y|Z) \) como variables aleatorias alcanzan los mismos valores con las mismas probabilidades, luego coinciden.

 Esto no ocurrirá (si no me equivoqué) con el segundo ejemplo.

Saludos.

[Quema]

Hola

Si tenés razón con el segundo ejemplo no se cumple, saludos