[YeffGC]

Hola este problema me salió en un examen como lo harían ustedes
Demuestre que si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x_n^2} \) diverge entonces \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x_n} \) no converge absolutamente

[Fernando Revilla]

Demuestre que si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x_n^2} \) diverge entonces \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x_n} \) no converge absolutamente

Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x_n} \) fuera absolutamente convergente, entonces \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{x_n}\right |}=0 \) lo cual implicaría \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x_n^2}{\left |{x_n}\right |}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{x_n}\right |}=0. \) Por el criterio de comparación por cociente, \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x_n^2} \) sería convergente.