[Naoj]

Tengo inconvenientes con este ejercicio, cualquier sugerencia mil gracias desde ya.

Sea \( h:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} \), definida por \( h(x)=\lambda x \). Si \( \mathcal{P} \) es un paralelepípedo k-dimensional en \( \mathbb{R}^{n} \), entonces hallar el volumen de \( h(\mathcal{P}) \) en términos del volumen de \( \mathcal{P} \).

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo inconvenientes con este ejercicio, cualquier sugerencia mil gracias desde ya.

Sea \( h:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} \), definida por \( h(x)=\lambda x \). Si \( \mathcal{P} \) es un paralelepípedo k-dimensional en \( \mathbb{R}^{n} \), entonces hallar el volumen de \( h(\mathcal{P}) \) en términos del volumen de \( \mathcal{P} \).

No sé que teoría tienes que usar para la justificación. Se cumple que:

\( vol(h(\mathcal{P})=|\lambda|^n\cdot vol(\mathcal{P}) \)

Puedes probarlo por ejemplo usando directamente el teorema de cambio de variable para integrales en varias varialbes:

\( vol(h(\mathcal{P})=\displaystyle\int_{h(\mathcal{P})}dx_1\ldots dx_n=\displaystyle\int_{\mathcal{P}}|Jh|dx_1\ldots dx_n \)

donde \( |Jh| \) es el determinante del Jacobiano de \( h \) que en este caso claramente es \( |\lambda|^n \).

Saludos.

[Naoj]

Mil gracias, es exactamente lo que esperaba.