Hola, bienvenida al foro che!!
necesito saber como se hacen el ejercicio 2 y 3
diganme que propiedades debo usar para sacar p y q
En este caso, podrías haber escrito los enunciados que te traen dolores directamente al foro; si involucran matemática debés escribirla con código \( \LaTeX \). Pasate un rato por la
Lectura obligada antes de postear por primera vez y el post dedicado a
Cómo escribir matemática correctamente (es un poco tedioso pero ¡se pueden leerlos!).
Por esta vez transcribo los enunciados solicitados:
2) a) Hallar todos los \( c\in\mathbb R \) para que la recta \( r:c^2x-2c+3(y+1)=0 \) tenga pendiente \( -2 \).
b) Para alguno de los valores de \( c \) hallados decidir si el punto \( (1,3) \) pertenece a la recta \( s \), siendo \( s \) la recta paralela a la recta \( r \) que pasa
por el punto \( (-1,5) \).
3) a) Dadas las funciones \( f(x)=3x^2+5x+2 \) y \( g(x)=6x+2 \), hallar los puntos \( P \) y \( Q \) de intersección de los gráficos de \( f \) y \( g \).
b) Hallar una función cuadrática que pase por el punto \( P \) y \( Q \) y su eje de simetría sea la recta \( x=3 \).
Te ayudo con el 3):
a) Podés hacerlo de dos maneras: graficando las funciones \( f \) y \( g \) en un sistema de ejes cartesianos, o hallando las intersecciones analíticamente (esto es, a pulmón). Yo recomendaría que primero grafiques y luego halles los puntos pedidos en forma analítica, así podés comprobar si te dio bien (si dos curvas, como una parábola y un recta, se cruzan entonces tienen al menos un punto en común). ¿Qué significa que dos "curvas se crucen"..? ¡Que sus fórmulas son iguales!:
\( f(x)=g(x)\quad\Rightarrow\quad 3x^2+5x+2=6x+2 \).
¿Y si no me doy cuenta si se cortan? Tenemos que operar algebraicamente hasta hallar una o varias soluciones:
\( 3x^2+5x+2=6x+2\quad\Rightarrow\quad 3x^2-x=0\quad\Rightarrow\quad x(3x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\;\;\text{o}\;\;x=\dfrac 13 \).
¿Ahí termina el ejercicio? Y, viendo de vuelta el enunciado nos piden
puntos, y \( x=0 \) o \( x=\frac 13 \) no son puntos. Para conocer la otra componente de los dos puntos tenemos que reemplazar dichos valores en alguna de las dos ecuaciones para averiguar cuánto vale \( y \) (es decir, tenemos que hallar \( P(0,y_P) \) y \( Q(\frac 13,y_Q) \)). Pero ¿en qué ecuación reemplazamos los valores? Si te acordás hace un momento impusimos la condición
\( f(x)=g(x), \)
que quiere decir que tanto \( f \) como \( g \) tienen puntos en común. Por lo que podemos reemplazar en cualquiera de las dos funciones (¡sí, en cualquiera! Qué práctico ¿no?). Yo voy a elegir la función lineal porque me resulta más fácil hacer los cálculos ahí:
\( y_P=6(0)+2\quad\Rightarrow\quad y_P=2\quad\Rightarrow\quad\boxed{P=(0,2)} \) e
\( y_Q=6(\frac 13)+2\quad\Rightarrow\quad y_Q=4\quad\Rightarrow\quad\boxed{Q=\left(\frac 13,4\right)} \).
Te dejo que pruebes a reemplazar los valores en la cuadrática y compruebes que dan lo mismo que con la lineal.
Gráfico de las curvas cortándose:
b) Me interesa escribir una función cuadrática genérica:
\( h(x)=ax^2+bx+c \) con \( a,b,c\in\mathbb R,\;a\neq 0 \).
Si pasa por los puntos \( P(0,2) \) y \( Q(\frac 13,4) \) entonces
\( h(0)=2\\h(\frac 13)=4 \),
pero además nos dan el dataso de que tiene eje de simetría con ecuación \( x=3 \). Esto quiere decir que, por definición de eje de simetría,
\( 3=-\dfrac b{2a} \). Si juntás toda la info armamos un sistemita de ecuaciones:
\( \begin{cases}
h(0)&=&2\\
h(\frac 13)&=&4\\
-\dfrac b{2a}&=&3
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
a{(0)}^2+b(0)+c&=&2\\
a{\left(\frac 13\right)}^2+b\left(\frac 13\right)+c&=&4\\
b&=&-6a
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
&\boxed{c=2}\\
\frac 19a+\frac 13b+c&=&4\\
b&=&-6a
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\frac 16a+\frac 13(-6a)+2=4
\quad\Rightarrow\quad\\
\boxed{a=-\dfrac {18}{17}}
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{b=-6\left(-\dfrac{18}{17}\right)=\frac{108}{17}}
\).
por lo tanto la función pedida es
\( \boxed{h(x)=-\dfrac{18}{17}x^2+\dfrac{108}{17}x+2} \).
Si no se entendió algo no dudes en escribir.
Spoiler
Me da curiosidad... ¿estudiás el Ingreso en la UNSAM?
Saludos!
