Ante todo, no entiendo qué significa eso de que si una recta intercepta los tres lados de un triángulo debe interceptar dos de los lados de un vértice. ¿Qué quiere decir dos de los lados de un vértice? ¿Cómo va a interceptar una recta a los tres lados de un triángulo?
Si los puntos A, B y C no son colineales, es inmediato. Supón que A y B no están al mismo lado de l, pero que A y C sí que lo están. Entonces la recta l corta el segmento AB, luego por el lema de Pasch tiene que cortar al segmento AC o al segmento BC, pero por hipótesis no corta a AC, luego corta a BC, lo que significa que B y C no están del mismo lado.
No sé si en tu enunciado del lema de Pasch hay que entender que el triángulo no es degenerado, es decir, que sus vértices no son colineales. Si no es así, ya está. Si sólo podemos aplicarlo a triángulos no degenerados, podríamos razonar así:
Llama r a la recta que contiene a A, B, C y sea x el punto de corte con l. Tomemos un punto y en l distinto de x y un punto z tal que z*y*B.
Entonces z, B están en lados opuestos de l (porque l corta el segmento que forman en y), y también A y B están en lados opuestos de l. De aquí debería poder deducirse que A y z están en el mismo lado de l. La idea es que l corta a los lados zB y AB del triángulo AzB, luego no puede cortar a Az, pero ahí es donde me pierdo con tu enunciado del lema de Pasch.
Si aceptamos que A z están al mismo lado de l, como A C también lo están, resulta que z C están al mismo lado de l, y como l corta al lado zB del triángulo zBC y no puede cortar a zC, tiene que cortar a CB, luego B C no están del mismo lado.
