Hola
Me piden que demuestre que f es integrable, y la funcion es \( f:[0,1] \)x\( [0,1] \)\( \longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por:
\( f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(xy)}{y} & \text{si}& y\neq{0}\\x & \text{si}& y=0\end{cases} \)
Depende de los resultados previos que puedas usar. Si ya tienes probado que toda función continua es integrable, basta que notes que tu función es continua.
Si \( y\neq 0 \) es continua por ser cociente y composición de funciones continuas.
Para los puntos \( (x_0,0) \) observa que:
\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (x_0,0)}\dfrac{sin(xy)}{y}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to (x_0,0)}\dfrac{sin(xy)}{xy}\cdot x=1\cdot x_0=f(x_0,0) \)
Saludos.
