[SeedKs]

Hola, buenas tardes. Tuve un problema con dos ejercicios que aplica la regla de la cadena multivariable.

No puedo resolver el siguiente, pues no entiendo que significa \( f(x,y) = f(g(u,v,w)) \)

El enunciado del ejercicio es el siguiente:

Calcule \( \frac{{\partial z}}{{\partial u}} \), \( \frac{{\partial z}}{{\partial v}} \) y \( \frac{{\partial z}}{{\partial w}} \) si \( z = f(x,y) = f(g(u,v,w)) \)

Y el que enuncio a continuación no se aplicar el diagrama del arbol cuando tiene mas de un nivel

Calcule \( \frac{{\partial w}}{{\partial t}} \), si \( w = f(x,y) \), \( x = g(r,s) \), \( y = h(r,t) \), \( r = k(s,t) \) y \( s = n(t) \)

Desde ya gracias, un saludo.

[arkady-svidrigailov]

Hola. Imagino que podría ser \( (x, y) = g(u,v, w) \), teniéndose \( x = g_1(u,v,w) \) e \( y = g_2(u,v,w) \). Por lo tanto \( \frac{{\partial z}}{{\partial u}} = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \frac{{\partial x}}{{\partial u}} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \frac{{\partial y}}{{\partial u}} \).

Como muestra el siguiente link http://slideplayer.com/slide/9390157/28/images/36/TREE+DIAGRAM+To+find+%E2%88%82z/%E2%88%82s,+we+find+the+product+of+the+partial+derivatives+along+each+path+from+z+to+s+and+then+add+these+products:.jpg

Según tengo entendido tenes que sumar todos los "caminos" desde la variable de arriba hasta la de abajo. Me parece que son cuatro.

[Masacroso]

Una forma de hacerlo es utilizando la derivada de Fréchet y una notación sin fracciones como la siguiente

\( \displaystyle \partial[(f\circ g)(u,v,w)]=(\partial f\circ g(u,v,w))\partial g(u,v,w) \)

y usando la identidad \( \partial_k f(x)=\partial f(x)e_k \) donde \( e_1,e_2,\ldots,e_n \) es la base ortonormal estándar de \( \Bbb R^n \) entonces nos quedaría, por ejemplo

\( \displaystyle \partial_k[(f\circ g)(u,v,w)]=(\partial f\circ g)(u,v,w)\partial g(u,v,w)e_k=(\partial f\circ g)(u,v,w)\partial_k g(u,v,w)=\partial f(x,y)\partial_k g(u,v,w) \)

que, suponiendo que \( k=1 \), traducido a la notación de fracciones quiere decir que

\( \displaystyle\frac{\partial z}{\partial u}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{\partial g}{\partial \color{red}{u}} \)

El otro caso es bastante más enrevesado y conviene utilizar la fórmula del árbol del enlace de arkady.

CORREGIDO.

[SeedKs]

Hola. Imagino que podría ser \( (x, y) = g(u,v, w) \), teniéndose \( x = g_1(u,v,w) \) e \( y = g_2(u,v,w) \). Por lo tanto \( \frac{{\partial z}}{{\partial u}} = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \frac{{\partial x}}{{\partial u}} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \frac{{\partial y}}{{\partial u}} \).

Como muestra el siguiente link http://slideplayer.com/slide/9390157/28/images/36/TREE+DIAGRAM+To+find+%E2%88%82z/%E2%88%82s,+we+find+the+product+of+the+partial+derivatives+along+each+path+from+z+to+s+and+then+add+these+products:.jpg

Según tengo entendido tenes que sumar todos los "caminos" desde la variable de arriba hasta la de abajo. Me parece que son cuatro.

Hola Arkady, gracias por la respuesta. El problema es que no se resolver \( \frac{{\partial y}}{{\partial t}} \) y la fórmula de tu enlace es la que estaba usando para realizar el ejercicio.

Una forma de hacerlo es utilizando la derivada de Fréchet y una notación sin fracciones como la siguiente

\( \displaystyle \partial[(f\circ g)(u,v,w)]=(\partial f\circ g(u,v,w))\partial (u,v,w) \)

y usando la identidad \( \partial_k f(x)=\partial f(x)e_k \) donde \( e_1,e_2,\ldots,e_n \) es la base ortonormal estándar de \( \Bbb R^n \) entonces nos quedaría, por ejemplo

\( \displaystyle \partial_k[(f\circ g)(u,v,w)]=(\partial f\circ g)(u,v,w)\partial g(u,v,w)e_k=(\partial f\circ g)(u,v,w)\partial_k g(u,v,w)=\partial f(x,y)\partial_k g(u,v,w) \)

que, suponiendo que \( k=1 \), traducido a la notación de fracciones quiere decir que

\( \displaystyle\frac{\partial z}{\partial u}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{\partial g}{\partial v} \)

El otro caso es bastante más enrevesado y conviene utilizar la fórmula del árbol del enlace de arkady.

Hola Masacroso, gracias por la respuesta del primer ejercicio. Con respecto al segundo no logro resolverlo, mi duda es como resolver esto. Subo una imagen y Encierro en rojo el problema. Debo resolverlo si o sí con regla de la cadena.

Gracias a ambos por tomarse el tiempo y responder. En serio.

[Masacroso]

Gracias a ambos por tomarse el tiempo y responder. En serio.

Ya lo tienes casi hecho. De tu imagen se deduce que el resultado buscado es una suma de 6 productos. Cada producto es una rama del árbol desde la copa que empieza en \( w \) hasta una \( t \), luego sumas las 6 ramas. Los productos se escriben en secuencia, desde arriba a abajo como muestra la imagen dejada por arkady.

Igualmente si no lo ves claro puedes consultar el procedimiento a seguir en vídeos de youtube u otras fuentes (por ejemplo puedes buscar en google por "derivadas parciales regla de la cadena árbol" sin las comillas). Las ramas representan la regla de la cadena, sí.

Aquí hay otra pregunta parecida:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=63724.0

EDICIÓN: por ejemplo voy a añadir la rama de más abajo de tu dibujo

\( \displaystyle w\to y\to t\implies \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} \)

[SeedKs]

Gracias a ambos por tomarse el tiempo y responder. En serio.

Ya lo tienes casi hecho. De tu imagen se deduce que el resultado buscado es una suma de 6 productos. Cada producto es una rama del árbol desde la copa que empieza en \( w \) hasta una \( t \), luego sumas las 6 ramas. Los productos se escriben en secuencia, desde arriba a abajo como muestra la imagen dejada por arkady.

Igualmente si no lo ves claro puedes consultar el procedimiento a seguir en vídeos de youtube u otras fuentes (por ejemplo puedes buscar en google por "derivadas parciales regla de la cadena árbol" sin las comillas). Las ramas representan la regla de la cadena, sí.

Aquí hay otra pregunta parecida:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=63724.0

EDICIÓN: por ejemplo voy a añadir la rama de más abajo de tu dibujo

\( \displaystyle w\to y\to t\implies \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} \)

Recíen vuelvo a conectarme, gracias por la respuesta. Pude resolverlo. Gracias