[hear]

Estimados es un gusto saludarles nuevamente. Ahora con una nueva entrada en la cual hago público un resultado que lo encontré hace años en el 2010 fruto de mis investigaciones sobre las raíces de los polinomios en una variable.

Dada la ecuación: \(  a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0 \) escribimos su equivalente a saber: \( x^3+a'_2 x^2+a'_1 x+a'_0=0 \) . Después de la bendición de Dios encontré:

\( x=\displaystyle\frac{b_1}{\sqrt[3 ]{(a'_2\,^2-3a'_1)b_2}-b_2}+k \) con \( b_1=3k^2+2a'_2k+a'_1\, ,\,\,  b_2=3k+a'_2 \) y k como sigue: \( k=\displaystyle\frac{-(9a'_0-a'_1 a'_2)\pm{\sqrt[ ]{(9a'_0-a'_1 a'_2)^2-4(3a'_1-a'_2\,^2)(3a'_0 a'_2-a'_1\,^2)}}}{2(3a'_1-a'_2\,^2)} ; 0\neq{3a'_1-a'_2\,^2}  \). Ahora bien este es básicamente el descubrimiento que Dios me dio como uds. podrán apreciar es una fórmula condicionada. No obstante la condición "complementaria" a saber: \( 3a'_1-a'_2\,^2=0 \) tiene asociada la fórmula: \( x=\displaystyle\frac{-a'_2+\sqrt[3 ]{a'_2\,^3-27a'_0}}{3} \)
La cual se puede "calcular" reemplazando la condición última en la fórmula de Cardano-Tartaglia y también por manipulación algebraica correspondiente. Ahora bien, qué con esto? Pues planteo la siguiente Hipótesis:
LLamemos a mi fórmula f1 y a las de los Italianos Cardano y Tartaglia f2, La Hipótesis consiste en que no hay "mecanismo algebraico" para pasar de f1 a f2 y viceversa.
Esto probaría que mi fórmula es independiente pero si la hipótesis es incorrecta entonces mi fórmula no sería nueva pero vamos no hay drama porque en eso consiste el estudio de las matemáticas encontrar VERDADES.

nota: Por cierto la fórmula ya conocida de los Italianos la pueden encontrar en: http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf

pha Heart.

[Luis Fuentes]

Hola

Estimados es un gusto saludarles nuevamente. Ahora con una nueva entrada en la cual hago público un resultado que lo encontré hace años en el 2010 fruto de mis investigaciones sobre las raíces de los polinomios en una variable.

Dada la ecuación: \(  a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0 \) escribimos su equivalente a saber: \( x^3+a'_2 x^2+a'_1 x+a'_0=0 \) . Después de la bendición de Dios encontré:

\( x=\displaystyle\frac{b_1}{\sqrt[3 ]{(a'_2\,^2-3a'_1)b_2}-b_2}+k \) con \( b_1=3k^2+2a'_2k+a'_1\, ,\,\,  b_2=3k+a'_2 \) y k como sigue: \( k=\displaystyle\frac{-(9a'_0-a'_1 a'_2)\pm{\sqrt[ ]{(9a'_0-a'_1 a'_2)^2-4(3a'_1-a'_2\,^2)(3a'_0 a'_2-a'_1\,^2)}}}{2(3a'_1-a'_2\,^2)} ; 0\neq{3a'_1-a'_2\,^2}  \). Ahora bien este es básicamente el descubrimiento que Dios me dio como uds. podrán apreciar es una fórmula condicionada Ahora bien la condición "complementaria" a saber: \( 3a'_1-a'_2\,^2=0 \) tiene asociada la fórmula: \( x=\displaystyle\frac{-a'_2+\sqrt[3 ]{a'_2\,^3-27a'_0}}{3} \)
La cual se puede "calcular" reemplazando la condición última en la fórmula de Cardano-Tartaglia y también por manipulación algebraica correspondiente. Ahora bien, qué con esto? Pues planteo la siguiente Hipótesis:
LLamemos a mi fórmula f1 y a las de los Italianos Cardano y Tartaglia f2, La Hipótesis consiste en que no hay "mecanismo algebraico" para pasar de f1 a f2 y viceversa.
Esto probaría que mi fórmula es independiente pero si la hipótesis es incorrecta entonces mi fórmula no sería nueva pero vamos no hay drama porque en eso consiste el estudio de las matemáticas encontrar VERDADES.

nota: Por cierto la fórmula ya conocida de los Italianos la pueden encontrar en: http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf

pha Heart.

Ahora mismo no tengo tiempo de verificar si tu fórmula es correcta; por el momento "me creo" que si.

Ahora bien, si es correcta a partir de ella se puede recuperar la ecuación inicial, ya que dadas las raíces \( r_1,r_2,r_3 \) del polinomio este es, salvo múltiplo:

\( (x-r_1)(x-r_2)(x-r_2) \)

Una vez recuperado, el polinomio puede resolverse por las formas ya conocidas de Cardano-Tartaglia; por tanto claramente si hay un mecanismo algebraico para pasar de unas a otras.

Saludos.

[hear]

Gracias por vuestra opinión!
En efecto al reemplazar la solución se debería llegar a la ecuación original o inicial, pero al llegar allí si "pierde" por así decirlo el camino algebraico que debería seguir pues estas pasando por la situación "inicial" en vez de utilizar propiedades algebraicas que te conduzcan de una formula a otra sin pasar por el camino "inicial" Eso es justamente lo que pido que por favor me ayuden encontrando este "mecanismo algebraico" para 'conocer' si la fórmula es independiente (aunque "si creo" que lo es...) pero no del modo que expones mi estimado amigo Luis.
Adjunto un archivo para que veas a lo que me refiero con "mecanismo algebraico" son las propiedades matemáticas aplicables mas no regresar a la ecuación original para llegar a la otra es como 'retroceder' e ir por otro camino...

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por vuestra opinión!
En efecto al reemplazar la solución se debería llegar a la ecuación original o inicial, pero al llegar allí si "pierde" por así decirlo el camino algebraico que debería seguir pues estas pasando por la situación "inicial" en vez de utilizar propiedades algebraicas que te conduzcan de una formula a otra sin pasar por el camino "inicial" Eso es justamente lo que pido que por favor me ayuden encontrando este "mecanismo algebraico" para 'conocer' si la fórmula es independiente (aunque "si creo" que lo es...) pero no del modo que expones mi estimado amigo Luis.

Lo que pones en la imagen adjunta (en lo sucesivo, no uses imágenes para sustituir escritura explícita de fórmula y textos) es un ejemplo.

Pero no has dado ninguna noción rigurosa a la que uno pueda aferrarse para definir "mecanismo algebraico"; objetas que yo multiplique \( (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) \) (¡habrá cosa más algebraica que ese producto!) simplemente porque "paso por la situación inicial". Esa regla de no pasar por la situación inicial es arbitraria; podría enmascararse saltándose los pasos donde se hace explícito ese cálculo.

Entonces hasta que no sepamos de manera concreta de a que nos referimos con "mecanismo algebraico" todo lo que digamos al respecto serán vaguedades.

Saludos.

[hear]

Luis lo que yo pido diciéndolo de otro modo es que partiendo de cualquiera de las dos expresiones algebraicas (soluciones) sea la mia o la de Tartaglia - Cardano se llegue de la una a la otra usando técnicas y propiedades algebraicas (partiendo de las expresiones insisto) Lo que tu propones es Plantear el producto de las tres raices y reemplazar las mismas en ese producto y obtener la ecuacion original... Eso en teoría se puede hacer (aunque se ve muy engorroso) Pero no es la manera adecuada de demostrar que se puede pasar de una expresión a la otra... Supongamos que en el ejemplo que te puse en el archivo fuera una solucion de una ecuacion entonces usaramos la tecnica que propones y llegasemos a la otra expresión ... Pero como vez existen pasos apropiados para pasar de la una expresion a la otra. Es ese el "mecanismo algebraico" que menciono y no se trata de definir un nuevo concepto es más esa palabra hace referencia a los artificios matemáticos que son necesarios para llegar a demostrar algo.

[Luis Fuentes]

Hola

Luis lo que yo pido diciéndolo de otro modo es que partiendo de cualquiera de las dos expresiones algebraicas (soluciones) sea la mia o la de Tartaglia - Cardano se llegue de la una a la otra usando técnicas y propiedades algebraicas (partiendo de las expresiones insisto) Lo que tu propones es Plantear el producto de las tres raices y reemplazar las mismas en ese producto y obtener la ecuacion original... Eso en teoría se puede hacer (aunque se ve muy engorroso) Pero no es la manera adecuada de demostrar que se puede pasar de una expresión a la otra... Supongamos que en el ejemplo que te puse en el archivo fuera una solucion de una ecuacion entonces usaramos la tecnica que propones y llegasemos a la otra expresión ... Pero como vez existen pasos apropiados para pasar de la una expresion a la otra. Es ese el "mecanismo algebraico" que menciono y no se trata de definir un nuevo concepto es más esa palabra hace referencia a los artificios matemáticos que son necesarios para llegar a demostrar algo.

No has dicho nada que aclare lo que apunté en mi mensaje anterior. Suerte.

Saludos.

[hear]

Hola!
Por medio de esta entrada pretendo aclarar el tipo de 'demostración' que deseo me ayuden a encontrar de que mi fórmula es independiente o no a la de Tartaglia - Cardano (TC) (y a cualquier otra...).
Para comenzar empezaré ilustrando mediante expresiones apropiadas lo que significa recuperar la ecuación e ir de una fórmula a otra. Sea \( r_1 \) mi fórmula y \( s_1 \) la fórmula TC, tenemos entonces que:
Para \( x^3+a'_2 x^2+a'_1 x+a'_0=0\quad \, (1) \), la solución en x sería \( x=r_1 \) o \( x=s_1 \). Claramente estamos respetando la condición que se mostró en el hilo inicial... Sabemos que si la solución es real única entonces \( r_1=s_1 \) directamente; si tiene tres soluciones reales se tendría que verificar que ambas dan la misma solución real usando teoría de complejos (hasta ahora...) para las dos. Bueno continuando con el análisis... Escribir el producto de las raíces sería: Sean \( r_2 \, y \, r_3 \) las raíces restantes aplicando como solución \( r_1 \) y sean \( s_2 \, y  \,s_3 \) las raíces restantes aplicando como solución \( s_1 \) entonces tendríamos:

\(  (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) \) al aplicar el producto obtendríamos: \( x^3-(r_1+r_2+r_3) x^2+(r_3(r_1+r_2)+r_1r_2) x-r_1r_2r_3=0 \) y como debe resultar cierto reduciendo los coeficientes de las x obtendremos la ecuación (1). Análogamente se tendría para \(  (x-s_1)(x-s_2)(x-s_3) \) ... Ahora bien ir de \( r_1 \) a \( s_1 \) se puede porque se conoce el camino seguido por los Italianos, pero viceversa; es decir de \( s_1 \) a \( r_1 \)? pues no... sino se sabe aún el procedimiento que se sigue para obtener \( r_1 \)...
A continuación os muestro un ejemplo particular de como llegar de \( r_1 \) a \( s_1 \) y viceversa!... usando mecanismos algebraicos para nada complejos...

Sea la ecuación particular:  \( x^3+a'_2 x^2+a'_1 x+\displaystyle\frac{a'_1\,^2 }{3a'_2 }=0\quad \, (2) \), entonces la solución viene dada por: \( s_1=\sqrt[3 ]{\displaystyle\frac{6a'_2\,^2 a'_1-a'_2\,^4-9a'_1\,^2}{27a'_2}}+\sqrt[3 ]{\displaystyle\frac{3a'_2 a'_1-a'_2\,^3}{27}}-\displaystyle\frac{a'_2}{3} \) y también por \( r_1=\displaystyle\frac{a'_1}{\sqrt[3 ]{a'_2(a'_2\,^2-3 a'_1)}-a'_2} \). Bien disculpándome con la audiencia ahora siento bastante sueño para escribir con latex estos mecanismos completamente así que adjunto dos imágenes donde están ambos de "ida y vuelta" que un buen y estimado amigo matemático colombiano José Paternina me colaboró... solo que en vez de \( a'_2 \, y \, a'_1 \) se usa x e y respectivamente para la ecuación cúbica (2) en términos de z.

Dios les siga bendiciendo!