[Naoj]

Buen día, me plantean lo siguiente

Sean \( U=\{(x,y):x^{2}+y^{2}<1\} \) y \( f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \), para \( (x,y)\not=0 \). Determine si \( f \) es integrable sobre \( U\smallsetminus\{0\} \) y sobre \( \mathbb{R}^{2}\smallsetminus\overline{U} \). Si es así, evalúe las integrales.

He pensado en hacer cambio a coordenadas polares, con lo cual la integral se reduce a
\( \displaystyle\int_{U}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\implies\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{r^{2}(\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta})} = \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{r^{2}} \)

Pero al resolver la integral y evaluar los límites, se ve que tengo un problema con el límite inferior...
Alguna sugerencia? Gracias!

[Fernando Revilla]

Nos está pidiendo en ambos casos calcular una integral doble impropia. Para \( 0 < a < 1 \) y llamando \( D_a=\left\{{(x,y): a<x^2+y^2 < 1}\right\} \):

        \( \displaystyle\iint_{D_a}\displaystyle\frac{dxdy}{x^2+y^2}\underbrace{=}_{\text{polares}}\ldots= -2\pi \log a \)
        \( \Rightarrow \displaystyle\iint_{U}\displaystyle\frac{dxdy}{x^2+y^2}=\lim_{a \to 0}\displaystyle\iint_{D_a}\displaystyle\frac{dxdy}{x^2+y^2} \)
        \( =\displaystyle\lim_{a \to 0}\left(-2\pi \log a\right)=+\infty. \)

Prodece de la misma manera con \( a>1 \) y obtendrás también

        \( \displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2-\overline{U}}\displaystyle\frac{dxdy}{x^2+y^2}=+\infty. \)

[Naoj]

Gracias por tu respuesta. Lo único que no me queda claro es que límites de integración debo tomar para que me de \( -2\pi\ln{a} \).

Gracias

[Fernando Revilla]

Gracias por tu respuesta. Lo único que no me queda claro es que límites de integración debo tomar para que me de \( -2\pi\ln{a} \).

Usando la fórmula del cambio a polares: \( \displaystyle\iint_{D_a}\displaystyle\frac{dxdy}{x^2+y^2}=\int_0^{2\pi} d\theta\int_a^1\frac{1}{r^2}\cdot r\;dr=\ldots \)