[YeffGC]

Me he confundido un poco porque usa el concepto de sucesión
Hallar el carácter de la serie \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}...\sqrt[n]{n}}} \)
sugerencia:probar que el resto de la serie anterior no es una sucesión de cauchy

[Juan Pablo Sancho]

\(  \sqrt[k]{k} < k  \) para \(  k > 1  \)


Editado


\(  1+ \sqrt{2} + \cdots \sqrt[n]{n} < 2 + 2 + \cdots  + 2  = 2 \cdot n  \)

[YeffGC]

No comprendo como desarrollar la sugerencia

[Luis Fuentes]

Hola

No comprendo como desarrollar la sugerencia

La sugerencia parece querer que analicemos la condición de Cauchy; pero francamente me parece complicarse la vida. Es mucho mas directo lo que propone Juan Pablo Sancho. De donde se deduce que:

\( \dfrac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots+\sqrt[n]{n}}>\dfrac{1}{2n} \)

y dado que la serie armónica es divergente, tu serie también.

Saludos.

[YeffGC]

Esa es la parte que no he podido probar la sugerencia y al parecer la debo hacer alguna ayuda porque no se exactamente cuál teorema debo ocupar si el de cauchy para series o secesiones

[YeffGC]

Si me gustaría su ayuda

[YeffGC]

He usado la forma que me dijeron para demostrar que la sucesión es divergente

[Juan Pablo Sancho]

Con lo que te puse:

\(  \sqrt[k]{k}  < k  \)

Para todo \(  n_0 > 1  \) y \(  m = 2 \cdot n_0   \) tenemos:

Editado

\( \displaystyle \sum_{k=n_0}^m \dfrac{1}{\sum_{i=1}^k \sqrt[n]{n}} > \sum_{k=n_0}^m \dfrac{1}{2 \cdot k} > \dfrac{n_0}{\color{red} 4 \color{black} \cdot n_0} = \color{red} \dfrac{1}{4} \color{black}  \)