Hola
Hallen la ecuacion canonica de la hiperbola con centro en el origen de coordenadas
acorde con los siguientes datos:
a) Los focos son \( F_1 = (−13, 0) \) y \( F_2 = (13, 0) \) y pasa por el punto \( M = (22, 12) \)
Muchisimas gracias!
1) Una forma es usar la definición de hipérbola como lugar geométrico: el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a los focos es constante. En nuestro caso:
\( \sqrt{(x+13)^2+y^2)}-\sqrt{(x-13)^2+y^2}=k \)
Para hallar \( k \) imponemos que pase por el punto \( M \):
\( \sqrt{(22+13)^2+12^2)}-\sqrt{(22-13)^2+12^2}=k \)
de donde \( k=52 \). Entonces operando y simplificando adecuadamente en:
\( \sqrt{(x+13)^2+y^2)}-\sqrt{(x-13)^2+y^2}=22 \)
queda:
\( 48x^2-121y^2=5808 \)
2) La ecuación canónica de la hipérbola que pasa por el origen y tienes el eje focal sobre el \( OX \) es:
\( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)
La semidistancia focal es \( c=13 \). Se cumple: \( a^2+b^2=c^2 \) y por tanto (*) queda:
\( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{13^2-a^2}=1 \)
Imponiendo que \( M(22,12) \) cumpla esta ecuación puedes hallar \( a \) y concluir.
Saludos.
