[SeedKs]

Hola, buenas tardes. Tengo un ejercicio en el cual dada una función de dos variables \(  z = f(x,y) \) debo explicar porqué sus funciones derivadas parciales pueden evaluarse en (0,0) pero no son continuas.

\(  f(x,y)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2} &   si  & (x,y)\neq{(0,0)} \\
             \\ 0 &  si  & (x,y) = (0,0)
             \end{array}
   \right.  \)

1) Justificar porque \( \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \) y \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \) no son continuas.

 2) Muestre \( \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \)\( (0,0) = 0 \) y \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \)\( (0,0) = 0 \)

Quiero entender como es la fundamentación. Desde ya muchísimas gracias.

[Masacroso]

Si no son continuas entonces se debe cumplir que \( \lim_{(x,y)\to (0,0)}\partial_x f(x,y)\neq \partial_x f(0,0) \), y lo mismo con la otra derivada parcial.

Luego para mostrar el valor de las derivadas parciales en el cero debes usar la definición de derivada direccional en un punto.

[SeedKs]

Hola Masacroso, gracias por la respuesta. Resolví y me quedo que \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{∂_xf(x,y)} \) no existe.

Entonces como el límite no existe... ¿\( ∂_xf \) no es continua en \( (0,0) \)? ¿Es correcto?

[Juan Pablo Sancho]

Si, eso es.

Otro camino:

Si fueran continuas en \( (0,0) \) entonces \(  f  \) sería diferenciable y en consecuencia continua en [te](0,0)[/tex]

pero \( f \) no es continua en \(  (0,0)  \).

[SeedKs]

Si, eso es.

Otro camino:

Si fueran continuas en \( (0,0) \) entonces \(  f  \) sería diferenciable y en consecuencia continua en [te](0,0)[/tex]

pero \( f \) no es continua en \(  (0,0)  \).

Excelente, gracias por la respuesta. Un saludo.