[conchivgr]

Hola.

Sea \( \mathbb{Q}[X] \) el anillo de polinomios con coeficientes en los racionales.

Un ideal principal del anillo \( \mathbb{Q}[X] \) es un ideal genrado por un unico elemento.

El ideal generado por el polinomio \( x-1 \) genera todo el anillo (y es principal al estar generado por un elemento)

Tomemos el polinomio \( (x-1)^2 \) y el ideal generado por el. Tambien es principal, pero genera todo \( \mathbb{Q}[X] \)?. La respuesta es no, pero, por que?.

Besos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

Sea \( \mathbb{Q}[X] \) el anillo de polinomios con coeficientes en los racionales.

Un ideal principal del anillo \( \mathbb{Q}[X] \) es un ideal genrado por un unico elemento.

El ideal generado por el polinomio \( x-1 \) genera todo el anillo (y es principal al estar generado por un elemento)

Pero ya no es cierto que \( x-1 \) genere todo el anillo. El ideal generado por \( x-1 \) son todos polinomios de la forma:

\( p(x)=(x-1)q(x) \) con \( q(x)\in \mathbb{Q}[x ] \)

¿Puedes obtener \( p(x)=1 \) de esa forma?.

Saludos.

[Fernando Revilla]

El ideal generado por el polinomio \( x-1 \) genera todo el anillo (y es principal al estar generado por un elemento)

En general, para un anillo conmutativo y unitario \( A \), un elemento \( a\in A \) cumple \( (a)=A \) si y sólo si \( a \) es unidad de \( A \). En \( \mathbb{Q} [ x ]  \) ocurre justamente para las constantes no nulas.