Autor Tema: Ecuación con congruencias!

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17 Abril, 2018, 04:59 am
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Jambo

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Hola, alguien me puede ayudar con el siguiente ejercicio?

Encontrar las soluciones de la ecuación \( x^2-1\equiv{0} \pmod{35} \)

Lo que hice fue pensar que \( x^2\equiv 1\pmod{35} \) equivale a \( x^2\equiv{1}(mod 5) \) y \( x^2\equiv{1} (mod7) \), de la primera, saqué que las soluciones eran los \( x \) de la forma \( 5n+1 \) y \( 5n+4 \) y de la segunda , los \( x \) de la forma \( 7n+1 \) y \( 7n+6 \). Y luego no sé exactamente como concluir  :-\

Esta bien pensado así el ejercicio? Se puede hacer con el teorema chino del resto?

Agradezco su ayuda de antemano!

24 Enero, 2019, 01:37 am
Respuesta #1

filomates

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  • La meta es el camino y el camino es la meta.
    • parafernalias matemáticas
Hola
Siguiendo tu razonamiento, las soluciones de \( x^2\equiv{1}\,mod{\,5} \) son 1 y 4. Prolongando estos dos números hasta 35, sumando de 5 en 5, obtenemos una lista (doble)
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31
4, 9, 14, 19, 24, 29, 34

Las soluciones de   \( x^2\equiv{1}\,mod{\,7} \) son 1 y 6; prolongando de 7 en 7 obtenemos la lista
1, 8, 15, 22, 29
6,13,20,27, 34

Los números comunnes a ambas listas son 1, 6, 29, 34
Esas son las soluciones de \( x^2\equiv{1}\,mod\,35 \)
Utilizando más resultados de congruencias, la respuesta será mas corta y elegante.
Aplicas el teorema chino del resto cuando usas que las soluciones modulo 35 son las que son a la vez soluciones módulo 5 y módulo 7
Espero que sea util, aunque ahora me he fijado en que han pasado muchos meses desde que preguntaste
La meta es el camino y el camino es la meta.
Yo amo los mundos sutiles, ingrávidos y gentiles, como pompas de jabón.
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