Hola,
Tengo varias dudas en el siguiente problema.
\( X \) es una variable aleatoria con función de densidad:
\( f_{X}(x)=\begin {Bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}& \mbox{ si } -1 < x < 0\\
\\
\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}& \mbox{ si } x \geq 0\\
\\
0& \mbox{ en el resto de casos }\\
\end{matrix} \)
- Calcular la funcion de distribución de \( X \).
En este apartado he hecho el cálculo por partes:
Si \( -1 < x < 0 \):
\( F_{X}(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f_{X}(t)\,dt = \displaystyle\int_{-1}^{x} \displaystyle\frac{1}{2}\,dt = \left. \left(\displaystyle\frac{1}{2}t\right) \right]_{-1}^x = \displaystyle\frac{x}{2} + \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{x + 1}{2} \)
Si \( x \geq 0 \):
\( F_{X}(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f_{X}(t)\,dt = \displaystyle\int_{-1}^{0} \displaystyle\frac{1}{2}\,dt + \displaystyle\int_{0}^{x} \displaystyle\frac{1}{2}e^{-t}\,dt = \left. \left(\displaystyle\frac{1}{2}t\right) \right]_{-1}^0 + \left. \left(-\displaystyle\frac{1}{2}e^{-t}\right) \right]_{0}^x = \)
\( = \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{1}{2}e^{-x} + \displaystyle\frac{1}{2}e^{0} = 1 - \displaystyle\frac{1}{2}e^{-x} \)
Obtenemos la siguiente función de distribución:
\( F_{X}(x)=\begin {Bmatrix}
0& \mbox{ si } x \leq -1\\
\\
\displaystyle\frac{x + 1}{2}& \mbox{ si } -1 < x < 0\\
\\
1 - \displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}& \mbox{ si } x \geq 0\\
\end{matrix} \)
- Utilizando el resultado anterior calcular \( P(X^2 \leq x) \). Utilizar este último resultado para calcular la función de distribución de \( Y = X^2 \).
Tenemos que:
\( P(X^2 \leq x) = P(-\sqrt{x} \leq X \leq \sqrt{x}) = P(X \leq \sqrt{x}) - P(X \leq - \sqrt{x}) = \)
\( = F_{X}(\sqrt{x}) - F_{X}(-\sqrt{x}) \)
Necesariamente \( x \) tiene que ser mayor que 0, por lo tanto:
\( F_{X}(\sqrt{x}) - F_{X}(-\sqrt{x}) = \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2}e^{-\sqrt{x}}\right) - \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2}e^{\sqrt{x}}\right) = \)
\( = \displaystyle\frac{1}{2}e^{\sqrt{x}} - \displaystyle\frac{1}{2}e^{-\sqrt{x}} = \displaystyle\frac{1}{2}(e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}) \)
Luego, tenemos que:
\( F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) \Rightarrow \) la hemos calculado en el paso anterior
Obtenemos la siguiente función de distribución:
\( F_{Y}(y)=\begin {Bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}(e^{\sqrt{y}} - e^{-\sqrt{y}})& \mbox{ si } y \geq 0\\
\\
0& \mbox{ en el resto de casos }
\end{matrix} \)
¿Pero es correcto este razonamiento?
- Calcular \( E(X) \).
\( E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f_{X}(x)\,dx = \displaystyle\int_{-1}^{0} x \cdot \displaystyle\frac{1}{2}\,dx + \displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \cdot \displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}\,dx \)
Por separado, tenemos:
\( \displaystyle\int_{-1}^{0} x \cdot \displaystyle\frac{1}{2}\,dx = \left. \left(\displaystyle\frac{x^2}{4}\right) \right]_{-1}^0 = \displaystyle\frac{1}{4} \)
\( \displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \cdot \displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}\,dx = -\displaystyle\frac{1}{2}xe^{-x} - \displaystyle\int_{0}^{+\infty} -\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}\,dx = -\displaystyle\frac{1}{2}xe^{-x} - \left. \left(\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}\right) \right]_{0}^{+\infty} \)
La segunda integral he intentado calcularla por partes, pero no sé cómo proseguir en el cálculo (o si éste es directamente incorrecto).
Muchas gracias por adelantado.
