[miquifq]

Se consideran las rectas

\( L_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: 2x-y-z=4,\,4x-y-2z=9\} \)
\( L_2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: (x,y,z)=\lambda(1,0,2)+(1,2,-3),\,\lambda\in \mathbb{R}\} \)

Hallar un plano \( \pi \) perpendicular a \( L_2 \) que pase por \( P = (1, 2, -3) \) y determinar \( Q = L_1\cap \pi \).

[zimbawe]

Dicho plano tendría como vector normal al vector \( \vec{n}=<1, 0, 2> \)
Para hallar la ecuación del plano, efectúa el producto punto e iguala a cero:
\( \vec{n}•<x-1, y-2, z+3>=0 \)
Para la segunda parte, parametriza la recta y sustituye las ecuaciones que obtengas de dicha parametrizacion en el plano.

[feriva]

Se consideran las rectas
L1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y − z = 4, 4x − y − 2z = 9}
L2 = {X ∈ R3 : X = λ(1, 0, 2) + (1, 2, −3), λ ∈ R}.

Hallar un plano Π perpendicular a L2 que pase por P = (1, 2, −3) y determinar Q = L1 ∩ Π.

Si el plano es perpendicular a la recta, éste la corta como una sierra a un lápiz. Así pues basta dibujarlo para ver que necesitamos dos vectores LI perpendiculares al de la recta L2 (el vector de la recta no pertenece al plano).

Como un vector de la recta es (1,0,2) (con lambda igual a 1) tendremos que, por producto escalar, uno perpendicular será (2,0,-1); es decir,  uno de los dos vectores que necesitamos para la ecuación del plano.

Ahora, con éste y el de la recta podemos hallar  (usando producto vectorial, por ejemplo) otro vector más el cual será perpendicular a ambos; y será el vector que nos falta del plano.

A mí me sale (0,5,0)

Si es así, la ecuación del plano Pi será \( (x,y,z)=(1,2,-3)+\lambda(0,5,0)+\beta(2,0,-1)
  \)

Saludos.

[sugata]

Hola Feriva.
Tres vectores perpendiculares son lineamente independientes.
Como tienes dos vectores perpendiculares con componente \( y=0 \), cualquier vector de la forma \( (0,a,0) \) nos valdría.

[feriva]

Hola Feriva.
Tres vectores perpendiculares son lineamente independientes.
Como tienes dos vectores perpendiculares con componente \( y=0 \), cualquier vector de la forma \( (0,a,0) \) nos valdría.

Efectivamente, pero por usar un método que nos serviría en general he usado el producto vectorial.

Un saludo.

[sugata]

Ya me extrañaba que no lo hubieras visto

[feriva]

Ya me extrañaba que no lo hubieras visto

Iba a poner un 1 en vez de un cinco para que fueran más fáciles las operaciones, pero luego he pensado que podría hacerle un lío.

Vamos a sacarle las paramétricas de L1 ya que estamos, para que le cueste menos hallar la intersección

Spoiler

\( x=\lambda
  \)

\( 2\lambda-y-z=4
  \)

\( 4\lambda-y-2z=9
  \)

Multiplicando por “-1” la segunda y sumando a la tercera

\( 2\lambda-z=5
  \)

\( z=2\lambda-5
  \)

Sustituyendo en la segunda

\( 2\lambda-y-2\lambda+5=4
  \)

\( y=1
  \)

El punto genérico de L1 es

\( (\lambda,\:1,\:2\lambda-5)  \)  Es 1, no -1 que había puesto



El de \( \Pi  \) es fácil, la ecuación está en forma vectorial.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

 miquifq: Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te hemos corregido las fórmulas desde la administración.

 Escribe:

Spoiler

[tex]L_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: 2x-y-z=4,\,4x-y-2z=9\}[/tex]
[tex]L_2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: (x,y,z)=\lambda(1,0,2)+(1,2,-3),\,\lambda\in \mathbb{R}\}[/tex]

 para obtener:

\( L_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: 2x-y-z=4,\,4x-y-2z=9\} \)
\( L_2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: (x,y,z)=\lambda(1,0,2)+(1,2,-3),\,\lambda\in \mathbb{R}\} \)

[cerrar]

Saludos.