[Naoj]

Sea \( S \) el tetraedro en \( \mathbb{R}^{3} \) con vértices \( (0,0,0),(1,2,3),(0,1,2),(-1,2,1) \). Evalue \( \int_{S}f \), donde \( f(x,y,z)=x+2y-z \).

Yo pienso que debo considerar ciertos límites para evaluar una integral triple, pero no sé cuales serían los límites correctos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( S \) el tetraedro en \( \mathbb{R}^{3} \) con vértices \( (0,0,0),(1,2,3),(0,1,2),(-1,2,1) \). Evalue \( \int_{S}f \), donde \( f(x,y,z)=x+2y-z \).

Yo pienso que debo considerar ciertos límites para evaluar una integral triple, pero no sé cuales serían los límites correctos.

En general para hacer una integral sobre un tetraedro de vértices \( A,B,C,D \) es cómodo hacer el cambio de variable:

\( (x,y,z)=A+p(B-A)+q(C-A)+r(D-A) \)

con límites:

\( 0\leq p\leq 1 \)
\( 0\leq q\leq 1-p \)
\( 0\leq r\leq 1-p-q \)

Saludos.

[Naoj]

Siguiendo tu idea, entonces
\( (x,y,z) = (0,0,0)+p(1,2,3)+q(0,1,2)+r(-1,2,1) = (p-r,2p+q+2r,3p+2q+r) \) (no comprendo bien esta igualdad de vectores que me indica)
Por tanto la integral debería ser,
\( \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1-p-q}f(p-r,2p+q+2r,3p+2q+r) =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1-p-q}((p-r)+2(2p+q+2r)-(3p+2q+r)) dpdqdr \)

Es correcto el planteamiento? Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Siguiendo tu idea, entonces
\( (x,y,z) = (0,0,0)+p(1,2,3)+q(0,1,2)+r(-1,2,1) = (p-r,2p+q+2r,3p+2q+r) \) (no comprendo bien esta igualdad de vectores que me indica)

Mira por aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_baric%C3%A9ntricas_(n-simplex)

Por tanto la integral debería ser,
\( \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1-p-q}f(p-r,2p+q+2r,3p+2q+r) =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1-p-q}((p-r)+2(2p+q+2r)-(3p+2q+r)) dpdqdr \)

¿Has aplicado la fórmula de cambio de variable mutliplicando por el determinante del Jacobiano de las transformación?. No.

El orden de las \( dpdqdr \) lo has puesto además al contrario.

Saludos.

[Naoj]

He entendido un poco mejor:

Sea  \( T(p,q,r)=(p-r,2p+q+2r,3p+2q+r) \). Entonces,
\( f(T(p,q,r))=p-r+2(2p+q+2r)-(3p+2q+r)=2(p+r) \) y \( \det{(T(p,q,r))=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2  \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix}} = -4 \)
Luego, por el teorema de cambio de variable tenemos que

\( \int_{0}^{1-p-q}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1}f(T(p,q,r))\det{(T(p,q,r))}dpdqdr = \int_{0}^{1-p-q}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1}2(p+r)(-4)dpdqdr \)

Dime que está correcto

[hméndez]

He entendido un poco mejor:

Sea  \( T(p,q,r)=(p-r,2p+q+2r,3p+2q+r) \). Entonces,
\( f(T(p,q,r))=p-r+2(2p+q+2r)-(3p+2q+r)=2(p+r) \) y \( \det{(T(p,q,r))=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2  \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix}} = -4 \)
Luego, por el teorema de cambio de variable tenemos que

\( \int_{0}^{1-p-q}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1}f(T(p,q,r))\det{(T(p,q,r))}dpdqdr = \int_{0}^{1-p-q}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1}2(p+r)(-4)dpdqdr \)

Dime que está correcto

Casi...

1) Las integrales se escriben como lo hiciste en tu respuesta #2, lo que debes cambiar es el orden de los diferenciales, debe ser \( dr\,dq\,dp \) .

2) En realidad el integrando se multiplica por el valor absoluto del determinante del Jacobiano de la transformación o sea \( \left |{-4}\right |=4 \)

Saludos

[Naoj]

Muchas gracias!