Autor Tema: Volumen de un rectángulo

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28 Febrero, 2008, 02:44 am
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Oramys

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Demuestre que si \( Q_1,Q_2,... \) es una colección numerable de rectángulos que cubren a \( Q \), entonces \( v(Q)\leq{\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{v(Q_i)}} \).

No veo cómo resolverlo.

Si me pueden dar alguna sugerencia lo agradecería.

"La inteligencia sin conciencia es un peligro para la humanidad"

28 Febrero, 2008, 04:32 am
Respuesta #1

León

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Hola Oramys.

No es demasiado fácil esto. Supongo, para no complicar innecesariamente las cosas, que los rectángulos del enunciado están todos alineados con los ejes.

Mi ayuda es: Primero haz el caso en que la colección es finita. Para el caso infinito usa que el rectágulo Q (o su clausura, si no es cerrado) es compacta.

caso finito
La idea no es complicada pero... seguro no es nada fácil de escribir!

Supongamos que el rectángulo cubierto es \( Q=[a_x,b_x]\times[a_y,b_y]\times[a_z,b_z] \) y la colección finita que lo cubre es \( \displaystyle\mathcal C=\left([a_{x,i},b_{x,i}]\times[a_{y,i},b_{y,i}] \times[a_{z,i},b_{z,i}]\right)_{1\leq i\leq n} \).

Llamenos
\( \mathcal X:=\{a_{x,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{b_{x,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{a_x,b_x\} \)
al conjunto de todas las coordenadas x de los bordes de los rectángulos. De la misma manera podemos armar:

\( \mathcal Y:=\{a_{y,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{b_{y,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{a_y,b_y\} \)

\( \mathcal Z:=\{a_{z,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{b_{z,i}\}_{1\leq i\leq n}\cup\{a_z,b_z\} \)

  Esos tres conjuntos finitos de números se pueden ordenar de menor a mayor y definir: \( x_i=\mbox{ i-\'esimo elemento de }\mathcal X \), \( y_j=\mbox{ j-\'esimo elemento de }\mathcal Y \), \( z_k=\mbox{ k-\'esimo elemento de }\mathcal Z \).

Tomemos ahora la colección finita de rectángulos dada por \( \mathcal D:=\{[x_i,x_{i+1}]\times[y_j,y_{j+1}]\times[z_k,z_{k+1}]\}
_\substack{1\leq i\leq n_1-1\\1\leq j\leq n_2-1\\1\leq k\leq n_3-1} \)

  Se puede ver sin dificultad que,
\( \displaystyle\forall F\in\mathcal C\cup\{Q\},\,F=\bigcup_{\substack{G\in\mathcal D\\G\subseteq F}}G \).

  Y si \( F=[x_{k_1},x_{l_1}]\times[y_{k_2},y_{l_2}]\times[z_{k_3},z_{l_3}] \) entonces

\( \begin{align*}v(F)&=(x_{l_1}-x_{k_1})(y_{l_2}-y_{k_2})(z_{l_3}-z_{k_3})=\\
&=\sum_{i=k_1}^{l_1-1}(x_{i+1}-x_i)\sum_{i=k_2}^{l_2-1}(y_{i+1}-y_i)\sum_{i=k_3}^{l_3-1}(z_{i+1}-z_i)=\\
&=\sum_{i=k_1}^{l_1-1}\sum_{j=k_2}^{l_2-1}\sum_{k=k_3}^{l_3-1}(x_{i+1}-x_i)(y_{j+1}-y_j)(z_{k+1}-z_k)=\\
&=\sum_{\substack{G\in\mathcal D\\G\subseteq F}}v(G)
\end{align*}
 \)

Ahora, \( \forall G\in\mathcal D,\,G\subseteq R\Rightarrow \exists F\in \mathcal C,G\subseteq F \) y por lo tanto
\( \displaystyle v(R)=\sum_{\substack{G\in\mathcal D\\G\subseteq R}} v(G)\leq\sum_{\substack{G\in\mathcal D\\ \exists F\in \mathcal C,G\subseteq F}}v(G)\leq\sum_{i=1}^n v(Q_i) \).

[cerrar]

caso infinito
Supongamos ahora que \( \displaystyle Q\subseteq\bigcup_{i\in\mathbb N}Q_i \).

Para todo \( \epsilon>0 \) sea \( B_i \) un rectángulo abierto tal que \( Q_i\subseteq B_i \) y \( v(B_i)\leq v(Q_i)+\epsilon/2^{i+1} \).

Entonces los \( B_i \) cubren Q, y como Q es compacto puede elegirse un subconjunto finito, \( (B_{i_k})_{1\leq k\leq m} \), que también cubre Q. Entonces la clausura de esos rectángulos abiertos también cubre Q y usando el caso finito sabemos que,

\( \displaystyle v(Q)\leq\sum_{k=1}^m v(B_{i_k})\leq\sum_{i=1}^\infty v(B_i)\leq\sum_{i=1}^\infty\left(v(Q_i)+\epsilon/2^{i+1}\right)=\sum_{i=1}^\infty v(Q_i)+\epsilon \).

Y cómo esto vale para cualquier \( \epsilon \) positivo,
\( \displaystyle v(Q)\leq\sum_{i=1}^\infty v(Q_i) \)

[cerrar]

Edición posterior: Corregí varios errores de tipeo, debe haber otro tanto

28 Febrero, 2008, 04:55 am
Respuesta #2

Oramys

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Muchas gracias León. Estuve trabajando el caso finito. Encontré una demostración en mi libro texto.

Tus ideas fueron bastante claras(en lo que cabe, jaja)...
 
Estamos en contacto.

Saludos.
"La inteligencia sin conciencia es un peligro para la humanidad"

10 Julio, 2008, 06:27 am
Respuesta #3

Watt

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  • Dos numeros manejan el mundo?
Hola, no quiero pecar de ignorancia pero como un triangulo posee volumen?

10 Julio, 2008, 06:44 am
Respuesta #4

EnRlquE

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Hola.

 En realidad es un rectángulo  ;D. Lo que pasa es que usualmente se define por bloque o rectángulo \( n- \)dimensional a un conjunto de la forma

\( A=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}]\times[a_{2},b_{2}]\imes\dots\times[a_{n},b_{n}]\subseteq\mathbb{R}^{n} \).

 Y se define también el volumen \( n- \)dimensional de \( A \) como    \( v(A)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}) \).

 Como casos particulares de esta definición tenemos que para \( n=1 \), el volumen \( 1- \)dimensional se reduce a la longitud de un segmento, para \( n=2 \), el volumen \( 2- \)dimensional es el área de un rectángulo, el volumen \( 3- \)dimensional es el volumen usual de un paralelepípedo recto, etc... Es común decir smplemente "volumen" en vez de volumen \( n- \)dimensional, pero se entiende que este volumen esta en el sentido que acabamos de ver y no necesariamente es el volumen usual que conocemos de la geometría euclidiana.

Saludos.

24 Febrero, 2011, 07:28 am
Respuesta #5

hector

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REvisa el libro analysis on manifolds. alli explican muy bien esto... te servira!

Si no lo tienes avisame y te lo envio-