[hortiz]

Buenas noches, me pueden ayudar con este problema, gracias por anticipado, saludos.
Dados los números reales \(  x_1,x_2,...,x_n \), se define
\(  d(x)=(x-x_1)^2 +(x-x_2)^2+...+(x-x_n)^2 , x \in{\mathbb{R}}  \)
Encuentre el valor de \( x \) para el cual \( d \) toma su valor mínimo.

[Fernando Revilla]

Dados los números reales \(  x_1,x_2,...,x_n \), se define \(  d(x)=(x-x_1)^2 +(x-x_2)^2+...+(x-x_n)^2 , x \in{\mathbb{R}}  \) Encuentre el valor de \( x \) para el cual \( d \) toma su valor mínimo.

Derivando e igualando a \( 0 \), descubrirás que el único punto crítico es la media aritmética de los \( n \) números.

[hortiz]

Muchas gracias una pregunta ese punto crítico es el valor mínimo saludos.

[Fernando Revilla]

Muchas gracias una pregunta ese punto crítico es el valor mínimo saludos.

La derivada segunda es \( d''(x)=2n > 0 \) para todo \( x \) en consecuencia es positiva en el punto crítico, luego en \( \overline{x}=(x_1+\ldots+x_n)/n \) existe mínimo local. Además es absoluto por simples consideraciones gráficas.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias una pregunta ese punto crítico es el valor mínimo saludos.

Fíjate además que tu función no es otra cosa que una parábola con el coeficiente de \( x^2 \) positivo. Es bien sabido que en ese caso su único mínimo se alcanza en el vértice de la misma.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Enlazando con lo dicho por Luis y actuando de manera directa sobre \( d(x) \):

        \( \begin{aligned}
d(x)&=(x-x_1)^2+\cdots+(x-x_n)^2\\
& =nx^2-2(x_1+\cdots+x_n)\color{red}x\color{black}+x_1^2+\cdots+x_n^2\\
& =n\left(x^2-2\cdot\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}\color{red}x\color{black}\right)+x_1^2+\cdots+x_n^2\\
& = n\left(x-\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)^2-\dfrac{\left(x_1+\cdots+x_n\right)^2}{n}+x_1^2+\cdots+x_n^2\\
& =n(x-\bar{x})^2+K\quad (K\text{ constante).}
\end{aligned} \)

De manera obvia el mínimo absoluto se obtiene para \( x=\bar{x} \), siendo éste mínimo

        \( d\left(\bar{x}\right)=x_1^2+\cdots+x_n^2-\dfrac{\left(x_1+\cdots+x_n\right)^2}{n}. \)

[hméndez]

Enlazando con lo dicho por Luis y actuando de manera directa sobre \( d(x) \):

        \( \begin{aligned}
d(x)&=(x-x_1)^2+\cdots+(x-x_n)^2\\
& =nx^2-2(x_1+\cdots+x_n)+x_1^2+\cdots+x_n^2\\
& =n\left(x^2-2\cdot\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)+x_1^2+\cdots+x_n^2\\
& = n\left(x-\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)^2-\dfrac{\left(x_1+\cdots+x_n\right)^2}{n}+x_1^2+\cdots+x_n^2\\
& =n(x-\bar{x})^2+K\quad (K\text{ constante).}
\end{aligned} \)

De manera obvia el mínimo absoluto se obtiene para \( x=\bar{x} \), siendo éste mínimo

        \( d\left(\bar{x}\right)=x_1^2+\cdots+x_n^2-\dfrac{\left(x_1+\cdots+x_n\right)^2}{n}. \)

Hola Fernando ,  ¡muy bien...!  eso lo dice todo.

¡Ojo con \( n \) en el denominador que tambien va al cuadrado!

Saludos

[Fernando Revilla]

Hola Fernando ,  ¡muy bien...!  eso lo dice todo. ¡Ojo con \( n \) en el denominador que tambien va al cuadrado!

Faltaba una \( x \) que ya he corregido, pero la \( n \) del denominador no va al cuadrado (ten en cuenta la \( n \) delante del primer paréntesis). 

[hméndez]

Hola Fernando ,  ¡muy bien...!  eso lo dice todo. ¡Ojo con \( n \) en el denominador que tambien va al cuadrado!

Faltaba una \( x \) que ya he corregido, pero la \( n \) del denominador no va al cuadrado (ten en cuenta la \( n \) delante del primer paréntesis). 

En la 4° linea,  (el segundo término) y tambien en la última linea.

Saludos

[Fernando Revilla]

En la 4° linea,  (el segundo término) y tambien en la última linea.

Ya está. Es francamente aburrido teclear.