Sean \( 0<a<b \). Si uno toma el círculo en el plano \( xz \) con radio \( a \) y centro \( (b,0,0) \) y lo rota en torno al eje \( z \), obtiene una superficie llamada Toro. Si uno gira el disco en lugar del círculo obtiene un sólido tridimensional llamado Toro Sólido. Calcule el volumen de este Toro sólido.
No sé como puedo plantear la integral triple con esos datos. Cualquier sugerencia gracias.
La circunferencia tiene como ecuación:
\( (x-b)^2+z^2=a^2 \)
\( \therefore x=b\pm{\sqrt[ ]{a^2-z^2}} \)
Como se trata de una superficie de revolución, la superficie se puede escribir como:
\( \sqrt[ ]{x^2+y^2}=b\pm{\sqrt[ ]{a^2-z^2}} \)
Trabajando en coordenadas cilíndricas para mayor simplicidad:
\( r=b\pm{\sqrt[ ]{a^2-z^2}} \)
Despejando \( z \):
\( z=\pm{\sqrt[ ]{a^2-(r-b)^2}} \)
Planteando una integral triple para el volumen \( V \) del Toro y tomando en cuenta su simetría
respecto al plano \( xy \) y al eje \( z \), escogemos los siguientes límites de integración:
\( 0\leq{z}\leq{\sqrt[ ]{a^2-(r-b)^2}},\qquad -a+b\leq{r}\leq{a+b},\qquad 0\leq{\theta}\leq{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \)
\( V=8\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\displaystyle\int_{-a+b}^{b+a}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{a^2-(r-b)^2}}r\,dz\,dr\,d\theta \)
\( V=2a^2b\,\pi^2 \)
Saludos
