[Jambo]

Hola! Me pueden ayudar a demostrar lo siguiente?

Sean \( a \) y \( b \) naturales primos entre sí; probar que \( a+b \) y \( ab \) son primos entre si.

Sé que tengo que demostrar que \( MCD(a+b,ab)=1 \) pero no se me ocurre como 

Agradezco su ayuda!

PD: En la parte anterior del ejercicio probé que si \( a \) y \( b \) son primos entre si, entonces \( a^2 \) y \( b^2 \) también lo son, intenté usar esto pero no llegué a nada...

[feriva]

Hola! Me pueden ayudar a demostrar lo siguiente?

Sean \( a \) y \( b \) naturales primos entre sí; probar que \( a+b \) y \( ab \) son primos entre si.

Sé que tengo que demostrar que \( MCD(a+b,ab)=1 \) pero no se me ocurre como 

Agradezco su ayuda!

No está bien lo del spoiler

Spoiler

Si no fueran coprimos, en principio podríamos tener \( k(a+b)=ab
  \) ó \( a+b=kab
  \) con k entero.

En el segundo caso

\( a=kab-b=b(ka-1)
  \) no puede ser, porque entonces \( b|a
  \) y no son primos entre sí.

En el segundo

\( k(a+b)=ab
  \)

implica que k no puede dividir a los dos, porque no serían coprimos “a” y “b”, por tanto “k” es coprimo con ambos, divide a uno u a otro; sin pérdida de generalidad supón que divide a “b”; y sea b=ck

\( k(a+b)=ack
  \)

\( a+b=ac\Rightarrow b=a(c-1)
  \); o sea, si existiera ese “c” entonces \( a|b \); no puede existir. Con lo que tampoco puede existir ck=b; o sea, no puede existir el entero “b”.

(comprueba a ver si está bien lo que digo)

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si no fueran coprimos, en principio podríamos tener \( k(a+b)=ab
  \) ó \( a+b=kab
  \) con k entero.

Pueden no ser coprimos y que no  se de ninguno de esos dos casos. Por ejemplo \( 12 \) y \( 15 \) no son coprimos pero uno no es múltíplo del otro.

Simplemente si no fuesen coprimos tendrían un divisor primo \( p \) común. Pero si \( p \) primo divide a \( ab \) entonces ó divide a \( a \) ó divide a \( b \).

Si \( p|a \) como también \( p|(a+b) \) entonces \( p|b \) y \( a,b \) no serían coprimos.

Lo análgo si \( p|b \).

Saludos.

[feriva]

Hola


Pueden no ser coprimos y que no  se de ninguno de esos dos casos. Por ejemplo \( 12 \) y \( 15 \) no son coprimos pero uno no es múltíplo del otro.

Ay, sí, perdón, qué despiste; edito.

Saludos.