[moraat]

Sea \( G \) un grupo abeliano y sean \( H \) y \( K \) subgrupos cíclicos finitos de órdenes r y s, demostrar que si el máximo común divisor de r y s es 1, entonces \( G \) contiene un subgrupo cíclico de orden rs.
Alguien me ayuda con este ejercicio? ¡Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( G \) un grupo abeliano y sean \( H \) y \( K \) subgrupos cíclicos finitos de órdenes r y s, demostrar que si el máximo común divisor de r y s es 1, entonces \( G \) contiene un subgrupo cíclico de orden rs.
Alguien me ayuda con este ejercicio? ¡Gracias!

Toma \( h \) el generador de \( h \) que tendrá orden \( r \), y \( k \) el generador de \( K \) que tendrá orden \( s \) y muestra que el elemento \( hk \) tiene orden \( rs \).

Para ello comprueba que \( (hk)^{rs}=e \); deduce que el orden de \( hk \) es divisor de \( rs \) y termina probando que tal orden no es ni \( s \) ni \( r \).

Saludos.