[Vickivictoria]

\( \displaystyle\lim_{x \to{4}}{\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2x+1}-9}{\sqrt[ ]{x-2}-\sqrt[ ]{2}}} \)

lo multiplique por el conjugado del denominador y me dio...

\( \displaystyle\lim_{x \to{4}}{\displaystyle\frac{(3\sqrt[ ]{2x+1}-9)(\sqrt[ ]{x-2}+\sqrt[ ]{2})}{x-4}} \)

nose como seguir para que no me de indeterminación.

[delmar]

Hola

Sencillamente factoriza la expresión que has obtenido : \( (\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2x+1}-9}{x+2}) \ \ (\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x-2}+\sqrt[ ]{2}}{x-2}) \)

Existen los límites cuando \( x\rightarrow{4} \) de ambos factores ¿Qué conclusión puedes obtener?

Saludos

AÑADIDO

Tuve un grueso error en esa factorización \( (x-4)\neq{(x+2) \ (x-2)} \), disculpas

[hméndez]

\( \displaystyle\lim_{x \to{4}}{\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2x+1}-9}{\sqrt[ ]{x-2}-\sqrt[ ]{2}}} \)

lo multiplique por el conjugado del denominador y me dio...

\( \displaystyle\lim_{x \to{4}}{\displaystyle\frac{(3\sqrt[ ]{2x+1}-9)(\sqrt[ ]{x-2}+\sqrt[ ]{2})}{x-4}} \)

nose como seguir para que no me de indeterminación.

Repite el procedimiento con el numerador, tras algunas cuentas "aflorará" el factor \(  x-4 \), responsable de la  indeterminación.

Nota:
Para que las cuentas sean menos  "pesadas", puedes sacar antes, el \( 3 \) como factor común en el numerador y luego proceder como te indiqué.

Saludos

[delmar]

Añado a mi mensaje anterior. La expresión a la que has llegado se puede poner de esta manera :

\( (\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2x+1}-9}{x-4}) \ (\sqrt[ ]{x-2}+\sqrt[ ]{2}) \)

\( \exists{ \ \displaystyle\lim_{x \to{}4}{\sqrt[ ]{x-2}+\sqrt[ ]{2}}} \) Resultado 1

En el otro factor hay indeterminación 0/0. Se puede hacer un cambio de variable \( t=x-4\Rightarrow{x=t+4} \). El límite de este factor cuando \( x\rightarrow{4} \) equivale a :

\( \displaystyle\lim_{t \to{}0}{\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2t+9}-9}{t}} \)

Ahora sí, multiplicando por el conjugado del numerador se llega a :

\( \displaystyle\frac{9(2t+9)-81}{t(3\sqrt[ ]{2t+9}+9)}=\displaystyle\frac{18}{3\sqrt[ ]{2t+9}+9} \)

\( \exists{\ \displaystyle\lim_{t \to{}0}{\displaystyle\frac{18}{3\sqrt[ ]{2t+9}+9}}} \) Resultado 2

Considerando los Resultados 1 y 2 ¿Que se puede decir del límite que piden?

Saludos

[Vickivictoria]

Me olvide de comentar que el resultado del ejercicio es\( 2\sqrt[ ]{2} \)