[Miguel.Angel]

Hola chic@s,

Tengo entre manos la siguiente integral trigonométrica:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{sen(x) cos^3(x)}}dx \) de la que cual, tengo su resultado: \( 2\sqrt{tg(x)}+C \)

Entiendo que el cambio de variable a aplicar es \( t=tg(\frac{\alpha}{2}) \)

Es decir,

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2} \sqrt{\frac{2t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}}}dx \) = \( 2\displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{(1+t^2)^2}{1-t^2}}{\sqrt{2t(1-t^2)}}dt \)...

Mi problema es que no sé cómo avanzar. No se me va nada más con el cambio de variable y no consigo ver la tangente por ningún lado.

¿Quizás he hecho el cambio de variable que no era? ¿Quizás sencillamente no estoy viendo la tangente y ahí está?

A ver quién tiene mejor ojo y me saca del pozo con esta integral.

Gracias chic@s.

[hméndez]

Hola chic@s,

Tengo entre manos la siguiente integral trigonométrica:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{sen(x) cos^3(x)}}dx \) de la que cual, tengo su resultado: \( 2\sqrt{tg(x)}+C \)

Entiendo que el cambio de variable a aplicar es \( t=tg(\frac{\alpha}{2}) \)

Es decir,

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2} \sqrt{\frac{2t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}}}dx \) = \( 2\displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{(1+t^2)^2}{1-t^2}}{\sqrt{2t(1-t^2)}}dt \)...

Mi problema es que no sé cómo avanzar. No se me va nada más con el cambio de variable y no consigo ver la tangente por ningún lado.

¿Quizás he hecho el cambio de variable que no era? ¿Quizás sencillamente no estoy viendo la tangente y ahí está?

A ver quién tiene mejor ojo y me saca del pozo con esta integral.

Gracias chic@s.

Hola Miguel.Angel , ese cambio no ayuda en este caso. Te recomiendo este,  \( t=tan(x) \)

con ello debes tener:

\( dx = \displaystyle\frac{dt}{1+t^2} \)

\( sen(x)=\displaystyle\frac{t}{\sqrt[ ]{1+t^2}} \)

\( cos(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1+t^2}} \)

¡¡Debes saber cómo obtener las equivalencias anteriores!!.

Espero el desarrollo de tu solución por aquí...

Saludos

[Abdulai]

Fijate que se puede escribir:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{sen(x) cos^3(x)}}dx = \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x} \cos^4x}} dx = \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{\tan x}}\dfrac{1}{\cos^2x}dx \)

Siendo que  \( \frac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^2x} \)  está cantada la sustitución (o integrarse directamente)

[hméndez]

Fijate que se puede escribir:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{sen(x) cos^3(x)}}dx = \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x} \cos^4x}} dx = \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{\tan x}}\dfrac{1}{\cos^2x}dx \)

Siendo que  \( \frac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^2x} \)  está cantada la sustitución (o integrarse directamente)

¡Me quedo con el cambio de Abdulai! 

Saludos

[sugata]

Fijate que se puede escribir:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{sen(x) cos^3(x)}}dx = \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x} \cos^4x}} dx = \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{\tan x}}\dfrac{1}{\cos^2x}dx \)

Siendo que  \( \frac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^2x} \)  está cantada la sustitución (o integrarse directamente)

Muy elegante, si señor.

[Masacroso]

Estaba pensando en buscar algo como la solución de Abdulai pero no llegué a verla. A veces en integrales trigonométricas resulta que podemos buscar una función y su derivada, lo cual simplifica mucho su resolución, en este caso inmediata.


Sólo comentar una cosa: no tengo muy claro cómo se define la integral indefinida de un integrando que no está definido en todo \( \Bbb R \). Pero habiendo cuenta de la forma del integrando de Abdulai supongo que se podría considerar exclusivamente el dominio \( (0,\pi/2) \), es decir, el mayor intervalo donde el integrando está bien definido como una función real.

[Miguel.Angel]

Hola chic@s,

Tengo entre manos la siguiente integral trigonométrica:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{sen(x) cos^3(x)}}dx \) de la que cual, tengo su resultado: \( 2\sqrt{tg(x)}+C \)

Entiendo que el cambio de variable a aplicar es \( t=tg(\frac{\alpha}{2}) \)

Es decir,

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2} \sqrt{\frac{2t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}}}dx \) = \( 2\displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{\frac{(1+t^2)^2}{1-t^2}}{\sqrt{2t(1-t^2)}}dt \)...

Mi problema es que no sé cómo avanzar. No se me va nada más con el cambio de variable y no consigo ver la tangente por ningún lado.

¿Quizás he hecho el cambio de variable que no era? ¿Quizás sencillamente no estoy viendo la tangente y ahí está?

A ver quién tiene mejor ojo y me saca del pozo con esta integral.

Gracias chic@s.

Hola Miguel.Angel , ese cambio no ayuda en este caso. Te recomiendo este,  \( t=tan(x) \)

con ello debes tener:

\( dx = \displaystyle\frac{dt}{1+t^2} \)

\( sen(x)=\displaystyle\frac{t}{\sqrt[ ]{1+t^2}} \)

\( cos(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1+t^2}} \)

¡¡Debes saber cómo obtener las equivalencias anteriores!!.

Espero el desarrollo de tu solución por aquí...

Saludos

Ahí va compañero:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{sen(x) cos^3(x)}}dx \) = \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}})^3}}\frac{dt}{1+t^2} \) = \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{t}}dt \) =   \( \displaystyle\frac{t^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+C \) = \( 2\sqrt{t}+C \) = \( 2\sqrt{tg(x)}+C \)

Mil gracias por tu ayuda. Muy útil!!

Y enorme también la propuesta de Abdulai!!!!! La aplaudo!! Gran ojo!!