[Jambo]

Hola!

Tengo que "decidir" si existen \( a \) y \( b \) enteros tal que \( a^2=8b^2 \) , pero no sé como hacerlo  (supongo que es con descomposición de factores primos porque es con lo que vengo trabajando...)

Agradezco su ayuda 

[feriva]

Hola!

Tengo que "decidir" si existen \( a \) y \( b \) enteros tal que \( a^2=8b^2 \) , pero no sé como hacerlo  (supongo que es con descomposición de factores primos porque es con lo que vengo trabajando...)

Agradezco su ayuda 

Pues...

\( (\dfrac{a}{b})^{2}=2^{3}
  \)

\( (\dfrac{a}{b})=\sqrt{2^{3}}
  \)

\( (\dfrac{a}{b})=2\sqrt{2}
  \)

Irracionalilla la cosa

Saludo.

[Jambo]

Hola, gracias por contestar 

En otra parte del ejercicio, piden lo mismo pero con \( a^2=3b^3 \), así que hice \( \displaystyle\frac{a^2}{b^3}=3 \), y de ahí simplemente concluyo de que existen? Podría saber cuales son esos \( a \) y \( b \)? 

[feriva]

Hola, gracias por contestar 

En otra parte del ejercicio, piden lo mismo pero con \( a^2=3b^3 \), así que hice \( \displaystyle\frac{a^2}{b^3}=3 \), y de ahí simplemente concluyo de que existen? Podría saber cuales son esos \( a \) y \( b \)? 

En este caso lo puedes analizar más fácilmente con conceptos de divisibilidad.

Si 3 es coprimo con “b” evidentemente no puede ser cuadrado perfecto; pues no tienes 3 al cuadrado.

Si 3 es factor de “b” y factorizas “b” en primos, al ser un cubo, se descompondrá en primos así \( 3^{3}xxxyyyzzz...\Rightarrow3b^{3}=3^{4}x^{3}y^{3}z^{3}...
  \). Y obviamente no puede ser un cuadrado por descompensación en las potencias.

Perdón, hay un caso, "b=3", entonces \( 3b^3=b^4 \) , entonces sí puede ser.

Saludos.

[hméndez]

Hola, gracias por contestar 

En otra parte del ejercicio, piden lo mismo pero con \( a^2=3b^3 \), así que hice \( \displaystyle\frac{a^2}{b^3}=3 \), y de ahí simplemente concluyo de que existen? Podría saber cuales son esos \( a \) y \( b \)? 

Te dejo esto, creo que un poco fuera de contexto. 

\( \displaystyle\frac{a}{b}=\sqrt[ ]{3b}\Rightarrow{{3b}} \) es cuadrado perfecto\( \Rightarrow{b=3n^2} \) con \( n \geq{1} \) entero y en consecuencia \( a = b\sqrt[ ]{3\cdot{3n^2}}=3n^2\sqrt[ ]{3\cdot{3n^2}}=9n^3 \)

Comprobando: \( (9n^3)^2/(3n^2)^3=3  \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo que "decidir" si existen \( a \) y \( b \) enteros tal que \( a^2=8b^2 \) , pero no sé como hacerlo  (supongo que es con descomposición de factores primos porque es con lo que vengo trabajando...)

Teniendo en cuenta el contexto que indicas: otra forma por reudcción al absurdo. Supón que si existen enteros cumpliendo la relación indicada.

En la descomposición en primos \( a^2 \) y \( b^2  \) todos los factores primos aparecen elevados a potencia par.

Por tanto en \( 2^3b^2 \) el \( 2 \) aparece elevado a potencia par+impar=impar. Pero entonces, dado que la descomposición en primos es única, en \( a^2=2^3b^2 \) el \( 2 \) aparece elevado a potencia impar:  imposible.

Saludos.