[Miguel.Angel]

Hola chic@s,

Tengo la siguiente integral \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{cos(x)}{sen^2(x) - cos^2(x)}dx \) cuyo resultado lo tengo pero no consigo llegar a él: \( \displaystyle\frac{-1} {\sqrt{2}} argth ( cos(x) ) + C \)

Sabemos que:

\( argth (x)= \displaystyle\frac{1}{2} Ln ( \frac{1+x}{1-x}  ) \)

Llego a lo siguiente:

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{cos(x)}{sen^2(x) - cos^2(x)}dx \) = \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{cos(x)}{sen^2(x) -(1 - sen^2(x))}dx \) = \( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{cos(x)}{2sen^2(x) - 1}dt \)

Por cambio de variable con exponente par:

\( t = sen(x) \)
\( dt = cos(x) dx \)
\( dx= \frac{dt}{cos(x)} \)

\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{2t^2 - 1}dt \) = \(   \displaystyle\frac{-1}{2}\displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{-t^2+ 1}dt \) = \(  \displaystyle\frac{-1}{2} Ln |x+1| + \displaystyle\frac{1}{2} Ln |x-1|  \) = \( \displaystyle\frac{1}{2} Ln |\frac{x-1}{x+1}| \)

¿Qué más me falta o en qué parte del camino me he perdido chic@s?

Gracias por la ayuda compañeros.

Un saludo

[Abdulai]

.....
\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{2t^2 - 1}dt \) = \(   \displaystyle\frac{-1}{2}\displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{-t^2+ 1}dt=... \)

WTF!

\( \displaystyle\int \dfrac{1}{2t^2 - 1}\text{d}t = -\displaystyle\int \dfrac{\text{d}t}{1-\left(\sqrt 2 t\right)^2} \)  y ahí sustituir \( u=\sqrt 2 t \)


Además la respuesta  es:  \( \cancel{-\dfrac{1}{\sqrt 2} \text{atanh}(\sqrt2\,\cos x)+C} \)


Además la respuesta  es:  \( -\dfrac{1}{\sqrt 2} \text{atanh}(\sqrt2\,\sin x)+C \)

[sugata]

Estoy un poco oxidado.
¿De dónde sale la raíz de 2?

[Abdulai]

Estoy un poco oxidado.
¿De dónde sale la raíz de 2?

De  \( 2t^2 = \left(\sqrt2 \,t\right)^2 \)

[Miguel.Angel]

.....
\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{2t^2 - 1}dt \) = \(   \displaystyle\frac{-1}{2}\displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{-t^2+ 1}dt=... \)

WTF!

\( \displaystyle\int \dfrac{1}{2t^2 - 1}\text{d}t = -\displaystyle\int \dfrac{\text{d}t}{1-\left(\sqrt 2 t\right)^2} \)  y ahí sustituir \( u=\sqrt 2 t \)


Además la respuesta  es:  \( -\dfrac{1}{\sqrt 2} \text{atanh}(\sqrt2\,\cos x)+C \)

Ya basta, voy a salir un poco de casa!! Gracias compañero!!

Estoy un poco oxidado.
¿De dónde sale la raíz de 2?

De  \( 2t^2 = \left(\sqrt2 \,t\right)^2 \)

\( \sqrt{2} \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2 \)

[sugata]

Estoy un poco oxidado.
¿De dónde sale la raíz de 2?

De  \( 2t^2 = \left(\sqrt2 \,t\right)^2 \)

Gracias.
Recuérdame que no lea el foro con 12 horas de trabajo en la cabeza.
Era como si no hubiera visto los paréntesis....

[hméndez]

.....
\( \displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{2t^2 - 1}dt \) = \(   \displaystyle\frac{-1}{2}\displaystyle\int_\ \displaystyle\frac{1}{-t^2+ 1}dt=... \)

WTF!

\( \displaystyle\int \dfrac{1}{2t^2 - 1}\text{d}t = -\displaystyle\int \dfrac{\text{d}t}{1-\left(\sqrt 2 t\right)^2} \)  y ahí sustituir \( u=\sqrt 2 t \)


Además la respuesta  es:  \( -\dfrac{1}{\sqrt 2} \text{atanh}(\sqrt2\,\cos x)+C \)

Hola, Abdulai
En el argumento de la arcotangente, en vez de coseno va seno

Saludos

[sugata]

Estoy un poco oxidado.
¿De dónde sale la raíz de 2?

De  \( 2t^2 = \left(\sqrt2 \,t\right)^2 \)

\( \sqrt{2} \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2 \)

Ya. El tema es que yo lo había "leído" sin paréntesis, \( \sqrt[ ]{2}t^2 \), y claro, no me cuadraba.

[Abdulai]

.........
Hola, Abdulai
En el argumento de la arcotangente, en vez de coseno va seno

Saludos

Jaja, es verdad 

Ahora lo corrijo.