[kickout]

Un número n de músicos participan en un festival de música. En cada
concierto, algunos de esos músicos tocan y los demás escuchan. ¿Cuál es el
mínimo número de conciertos necesario para que cada músico escuche a todos
los demás?

Por ejemplo, para n=6 la respuesta sería 4.
Concierto 1 A B C
Concierto 2 B E D
Concierto 3 A E F
Concierto 4 C F D

¿Alguien sabe cómo se podría generalizar este problema para cualquier valor de n?

Muchas gracias. Un saludo.

[feriva]

Un número n de músicos participan en un festival de música. En cada
concierto, algunos de esos músicos tocan y los demás escuchan. ¿Cuál es el
mínimo número de conciertos necesario para que cada músico escuche a todos
los demás?

¿Alguien sabe cómo se podría generalizar este problema para cualquier valor de n?

Lo intuyo como un problema de máximos y mínimos con números enteros, no lo veo demasiado generalizable debido a las distinta divisibilidad según la cantidad de músicos; pero no me hagas caso, a lo mejor sí.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Una idea rápida. Si hay \( \displaystyle\binom{k}{2} \) músicos entonces es suficiente que toquen en \( k \) días. Basta asignar a cada músico un par de días de los \( \binom{k}{2} \) posibles pares.

 Por tanto si hay \( n \) músicos a lo sumo hacen falta \( k \) días, siendo \( k \) el menor entero verificando:

\( \displaystyle\binom{k}{2}\geq n \)

 Lo que no está claro si no se puede hacer en menos días.

Saludos.

[kickout]

Hola

 Una idea rápida. Si hay \( \displaystyle\binom{k}{2} \) músicos entonces es suficiente que toquen en \( k \) días. Basta asignar a cada músico un par de días de los \( \binom{k}{2} \) posibles pares.

 Por tanto si hay \( n \) músicos a lo sumo hacen falta \( k \) días, siendo \( k \) el menor entero verificando:

\( \displaystyle\binom{k}{2}\geq n \)

 Lo que no está claro si no se puede hacer en menos días.

Saludos.

No acabo de ver cómo, por ejemplo, para n=6 músicos (es decir, k=4), si a cada uno de los músicos se le asigna un par de días de los 6 posibles pares, se llega a la conclusión de que k=4. (Supongo que es obvio, pero no acabo de verlo, ¿podrías matizar esa frase?)


Gracias a ambos por la respuesta.

[Luis Fuentes]

Hola

No acabo de ver cómo, por ejemplo, para n=6 músicos (es decir, k=4), si a cada uno de los músicos se le asigna un par de días de los 6 posibles pares, se llega a la conclusión de que k=4. (Supongo que es obvio, pero no acabo de verlo, ¿podrías matizar esa frase?)

Pues supón que numeramos los días del 1 al 4, entonces los diferentes pares de días son:

12,13,14,23,24,34

Por orden asignamos a cada músico A,B,C,D,E,F uno de los días de forma que por ejemplo A toca los días 1 y2 ó F toca los dias 3 y 4.

Entonces en conjunto los días 1,2,3,4 tocarán respectivamente:

ABC,ADE,BDF,CEF

Tenemos garantizado que todos se escuchan a todos porque no hay ningún par de músicos que toquen exactamente los mismos dos dias.

Saludos.