[mh]

Hola,

Tengo problemas para calcular la siguiente función de distribución.

Siendo \( X \) una variable aleatoria con distribución uniforme en (0, 5):

- Calcular la función de distribución de \( Y = red(X) \), donde \( red \) es una función que redondea su parámetro "al alza", por ejemplo:

\( red(2) = 2 \)
\( red(-2) = -2 \)
\( red(2,1) = 3 \)
\( red(2,9) = 3 \)
\( red(-2,1) = -2 \)
\( red(-2, 9) = -2 \)

Partiendo de que \( X \) es una variable aleatoria con distribución uniforme en (0, 5), tenemos que:

\( f_{X}(x)=\begin {Bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{5}&\mbox { si } 0 < x < 5\\
\\
0& \mbox{ en cualquier otro caso }\\
\end{matrix}
 \)

\( F_{X}(x)=\begin {Bmatrix}
0& \mbox{ si } x \leq 0\\
\\
\displaystyle\frac{x}{5}&\mbox { si } 0 < x < 5\\
\\
1& \mbox{ si } x \geq 5\\
\end{matrix}
 \)

¿Pero cómo es posible obtener la función de distribución de \( Y \)?


Muchas gracias por adelantado.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que:

\(  P(Y\leq y)=P(red(X)\leq y)=P(X\leq [y]) \)

 donde \( [y] \) es la función "parte entera" usual.

Saludos.

[mh]

Hola,

Lamento la insistencia, pero la verdad es que no me queda claro cómo haces este paso:

\( P(red(X)\leq y)=P(X\leq [y]) \)

Y, una vez planteada esta probabilidad, cuál es el mecanismo para llegar a la definición de la función de destribución de \( Y \).


Muchas gracias de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Toma ejemplos. Supón \( y=2, y=2.5, y=3, y=3.5 \) y mira en cada caso que valores de \( X \) cumplen que \( red(X)\leq y \).

 Por otra parte ten encuenta que:

\(  P(X\leq x)=F_X(x) \)

 luego de lo anterior te quedará:

\(  F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X\leq [y])=F_X([y]) \)

 y no tienes más que componer funciones.

Saludos.

[mh]

Hola,

Muchas gracias por tu explicación, el_manco. Entonces la función de distribución de \( Y \) nos quedaría de la siguiente forma:

\( F_{Y}(y)=\begin {Bmatrix}
0& \mbox{ si } y \leq 0\\
\\
\displaystyle\frac{[y]}{5}&\mbox { si } 0 < y < 5\\
\\
1& \mbox{ si } y \geq 5\\
\end{matrix}
 \)

Una vez calculada la función de distribución, tengo que calcular la función de probabilidad de \( Y \), su esperanza y su varianza. Al pedirnos la función de probabilidad (y no la de densidad), parece que se está tratando a la variable aleatoria \( Y \) como una discreta. ¿Es que el hecho de haber obtenido la función de distribución con la parte entera "discretiza" a la variable \( Y \)? En ese caso, ¿se harían los cálculos procediendo como en el caso de variables aleatorias discretas?


Muchas gracias por adelantado.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si, es discreta. De hecho la variable \( Y \) tiene probabilidad sólo en los puntos:

\(  P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=1/5 \)

Saludos.

[mh]

Hola,

Muchas gracias. Escribo aquí, por completitud, los valores que he obtenido para la esperanza y la varianza de \( Y \):
\( P_{Y}(y)=\begin {Bmatrix}\displaystyle\frac{1}{5}&\mbox { si } y\in Z,\quad 1 \leq y \leq 5\\\\0& \mbox{ en otro caso }\\\end{matrix} \)

\( E(Y) = 1 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} + 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} + 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} + 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} + 5 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} = \displaystyle\frac{15}{5} = 3 \)

\( E(Y^2) = 1^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} + 2^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} + 3^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} + 4^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} + 5^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} = \displaystyle\frac{55}{5} = 11 \)

\( Var(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 11 - 3^2 = 2 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Bien. Sólo una cosa. Para ser más preciso, mejor que:

\( P_{Y}(y)=\begin {Bmatrix}\displaystyle\frac{1}{5}&\mbox { si } 1 \leq y \leq 5\\\\0& \mbox{ en otro caso }\\\end{matrix} \)

 escribe:

\( P_{Y}(y)=\begin {Bmatrix}\displaystyle\frac{1}{5}&\mbox { si } y\in Z,\quad 1 \leq y \leq 5\\\\0& \mbox{ en otro caso }\\\end{matrix} \)

Saludos.

[mh]

Muchas gracias, he editado mi mensaje anterior.